高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6简单的三角恒等变形学案

这是一份高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6简单的三角恒等变形学案，共6页。
第六节　简单的三角恒等变形授课提示：对应学生用书第66页[基础梳理]1．升幂公式(1)1＋cos 2α＝2cos2α．(2)1－cos 2α＝2sin2α．(说明：从左到右是升幂，从右到左为降幂)2．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).3．半角公式(不要求记忆)(1)sin ＝± .(2)cos ＝± .(3)tan ＝± ＝＝.重要的运算变形公式sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos βsin θ＋sin φ＝2sin cos .sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin βsin θ－sin φ＝2cos sin .cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos  βcos θ＋cos φ＝2coscos .cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin βcos θ－cos φ＝－2sin sin.tan ＝＝.[四基自测]1．(基础点：辅助角公式)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)A．π　　　　　　　　 B.C．2π  D．答案：A2．(易错点：半角函数值符号)已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝(　　)A.　 B．－　　C.　　D．－答案：D3．(基础点：辅助角公式)f(x)＝sin(x＋3π)－3cos x的最小值为________．答案：－4．(易错点：公式的变形)已知α∈(0，)，2sin α＝cos α＋1，则tan＝________．答案：授课提示：对应学生用书第66页考点一　利用变换的“主角”变——角变[例]　(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　)A.　　　　　　　 B．－C.  D．－[解析]　因为0＜α＜，所以＜α＋＜，又cos＝，所以sin＝ ＝ ＝.因为－＜β＜0，所以＜－＜，又sin＝，所以cos＝ ＝ ＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.故选C.[答案]　C(2)若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan＝(　　)A.  B．C.  D．[解析]　法一：由已知得cos α＝1－sin α.代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－sin α)2＝1，整理得sin2α－sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝.因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故cos α＝1－×＝.所以tan＝＝＝.故选A.法二：因为sin α＝2sin·cos，cos α＝1－2sin2，所以sin α＋2cos α＝2可以化为2sin ·cos＋2(1－2sin2)＝2，化简可得2sin·cos＝4sin2.①因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，所以sin≠0.所以①式可化为2cos＝4sin，即tan ＝.故选A.[答案]　A[破题技法]　1.给值求值问题的主要思路是抓住“角”进行变形，即用已知角表示未知角．有两种思路：(1)α＋2β＝(α＋β)＋β，即先求tan(α＋β)→tan(α＋β＋β)．(2)α＋2β先求tan 2β →tan(α＋2β)．2．从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点．对于一个角，我们要分析它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们之间的关系．用已知角表示所求角．如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋＝(α＋)－(－)，同时注意角的范围．3．注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”，构造适合公式的形式．考点二　利用式子的“结构”变—形变挖掘1　化简与求值/ 互动探究[例1]　(1)化简的结果是(　　)A．－cos 1　　　　　 B．cos 1C.cos 1  D．－cos 1[解析]　原式＝＝ ＝＝cos 1.[答案]　C(2)＝________．[解析]　＝＝＝4sin α.[答案]　4sin α(3)若f(α)＝2tan α－，求f()的值．[解析]　∵f(α)＝2tan α－＝＋＝，∴f＝＝8.挖掘2　化简与证明/ 互动探究[例2]　(1)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan β＝，则(　　)A．α－3β＝－B．α－2β＝－C．α＋3β＝D．α＋2β＝[解析]　法一：(化切为弦)因为tan β＝，所以＝，即sin βcos α＝cos β＋cos βsin α，整理得sin(β－α)＝cos β，即sin(β－α)＝sin(－β)，因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以β－α∈(－，)，－β∈(0，)，因为函数y＝sin x在(－，)上单调递增，所以β－α＝－β，整理得α－2β＝－.故选B.法二：(化弦为切)因为＝＝＝，所以tan β＝＝tan[－(－)]＝tan(＋)．因为α∈(0，)，β∈(0，)，＋∈(，)，又函数y＝tan x在(0，)上单调递增，所以β＝＋，即α－2β＝－，故选B.[答案]　B(2)下列等式关系在α使其有意义的条件下，恒成立的有________．①(sin2α－cos 2α)2＝1－sin 4α；②tan－＝；③1＋cos 2α＋2 sin2 α＝2；④＝tan  2α[解析]　①(sin 2α－cos 2α)2＝sin22α＋cos22α－2sin 2α·cos 2α＝1－sin 4α(正确)．②tan－＝＝＝－(错)．③1＋cos 2α＋2sin2α＝2cos2α＋2sin2α＝2(正确)．④＝＝＝tan α(错)．[答案]　①③[破题技法]　1.已知是“和”式，所求是“积”式，要经过“平方”为桥梁进行变形．cos α＋cos β＝→cos2α＋cos2 β＋2cos αcos β＝，sin α＋sin β＝→sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝.2．三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质(对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等)．这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方法，常用的变换有：(1)对于含有“sin2x”型，利用sin2x＝.(2)对于含有“cos2x”型，利用cos2x＝.(3)对于含有“sin xcos x”型，利用sin xcos x＝sin 2x.(4)对于含有“tan x”型，利用tan x＝.逐步变为形如“y＝asin x＋bcos x”，利用辅助角公式变为y＝sin(x＋φ)型．考点三　利用三角恒等变换，研究三角函数性质挖掘　三角函数式化简与性质/互动探究[例]　已知函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)－a的图像经过点(，1)，a∈R.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调递增区间；(2)若当x∈[0，]时，不等式f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．[解析]　(1)f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)－a＝2sin2x＋2sin xcos x－a＝1－cos 2x＋sin 2x－a＝sin(2x－)＋1－a.因为函数f(x)的图像经过点(，1)，所以sin＋1－a＝1，解得a＝1.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，因为x∈[0，]，所以2x－∈[－，]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－1.因为f(x)≥m恒成立，所以m≤f(x)min，即m≤－1.所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．[破题技法]　一般地先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，再用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，最后借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．(2020·陕西西安一中月考)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)，于是T＝＝2π.故f(x)的最小正周期为2π.(2)将函数f(x)＝2sin(x＋)的图像向右平移个单位长度，得g(x)＝2sin(x＋－)＝2sin(x＋)的图像，令t＝x＋，因为x∈[0，π]，所以t∈[，]．易知函数h(t)＝2sin t在[，]上单调递增，在[，]上单调递减，所以函数h(t)在[，]上的最小值为h()＝2×sin＝－1，即g(x)在区间[0，π]上的最小值为－1，又h(t)的最大值为h()＝2×sin＝2，所以g(x)在区间[0，π]上的最大值为2.