高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和学案

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第三节　等比数列及其前n项和授课提示：对应学生用书第96页[基础梳理]1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．②符号语言：＝q(n∈N＋，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(a、G、b不为零)．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)．(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq．特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a．(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N＋，公比q≠－1)．(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk．1．(1)在等比数列求和时，要注意q＝1和q≠1的讨论．(2)当{an}是等比数列且q≠1时，Sn＝－·qn＝A－A·qn.2．当项数是偶数时，S偶＝S奇·q；当项数是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.[四基自测]1．(基础点：等比中项)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)A．4　　　　　　　　 B．8C．16  D．32答案：C2．(基础点：等比数列的前n项和)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)A．63  B．64C．127  D．128答案：C3．(基础点：求等比数列的项)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案：12，484．(基础点：等比数列的通项)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则an＝________．答案：－2n－1授课提示：对应学生用书第96页考点一　等比数列的基本运算及性质挖掘1　利用基本量进行计算/ 自主练透[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)A．16　　　　　　　　　 B．8C．4  D．2[解析]　由题意知解得∴a3＝a1q2＝4.故选C.[答案]　C(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.[解析]　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.∴S5＝＝.[答案]　(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解析]　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[破题技法]　方法解读适合题型基本量法设出a1和q，将已知条件用a1和q表示，建立方程组求出a1和q题设中有五个基本量a1，q，an，Sn，n中的两个挖掘2　利用性质进行计算/ 互动探究[例2]　(1)(2020·哈尔滨模拟)等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)A．12  B．10C．8  D．2＋log3a5[解析]　由题a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.[答案]　B(2)(2020·湖南衡阳一模)在等比数列{an}中，a1a3＝a4＝4，则a6的所有可能值构成的集合是(　　)A．{6}  B．{－8，8}C．{－8}  D．{8}[解析]　∵a1·a3＝a＝4，∴a2＝±2.当a2＝－2时，a＝a2·a4＜0无意义，∴a2＝2.∴q2＝＝2，∴a6＝a4·q2＝4×2＝8.[答案]　D[破题技法]　方法解读适合题型性质法利用等比数列的性质化简已知条件题设中有“an·am”型的表达式或＝qn－m1．(2020·湖北荆州联考)已知数列{an}为等差数列，且2a1，2，2a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)A．15   B.C．6  D．3解析：由2a1，2，2a6成等比数列，可得4＝2a1·2a6＝2a1＋a6，即a1＋a6＝2，又数列{an}为等差数列，所以{an}前6项的和为×6(a1＋a6)＝6.故选C.答案：C2．(2020·山东菏泽一模)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)A．2  B．－C.  D．－或解析：设等比数列{an}的公比为q，由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2a16＝2，即有aq16＝2，则有a＝2，则＝a9＝±.故选D.答案：D考点二　等比数列的判定与证明挖掘1　定义法证明等比数列/ 互动探究[例1]　(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．[解析]　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1.所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.挖掘2　等比中项法判定等比数列/ 互动探究[例2]　(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[解析]　设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a＝a3·a9.[答案]　D(2)(2020·湖南郴州一模)在数列{an}中，满足a1＝2，a＝an－1·an＋1(n≥2，n∈N＋)，Sn为{an}的前n项和，若a6＝64，则S7的值为(　　)A．126　　　　　　 B．256C．255  D．254[解析]　数列{an}中，满足a＝an－1an＋1(n≥2)，则数列{an}为等比数列，设其公比为q，又由a1＝2，a6＝64，得q5＝＝32，则q＝2，则S7＝＝28－2＝254，故选D.[答案]　D[破题技法]　等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义法在an≠0(n∈N＋)前提下，若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数，n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列已知中提供的递推关系式，或者是an与Sn的关系式进行化简，转化为数列{an}中相邻两项之间的关系等比中项法数列{an}中，an≠0，如果根据已知条件能化简得到a＝an·an＋2(n∈N＋)，或者是证明此式成立，则数列{an}是等比数列证明三项成等比数列通项公式法观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列能明确通项公式，用于选择或填空题中前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则数列{an}是等比数列能明确前n项和公式，只用于选择或填空题中考点三　等比数列前n项和及综合应用挖掘1　等比数列前n项和性质及应用/ 互动探究[例1]　(1)记Sn为等比数列前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．[解析]　S10＝，S5＝，由a2＝3a1，得q＝3，∴＝＝1＋q5＝244.[答案]　244(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．[解析]　由题意，得解得所以q＝＝＝2.[答案]　2挖掘2　等比数列的综合问题/ 互动探究[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.①求{an}的通项公式；②设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．[解析]　①设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.②由①得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.(2)已知数列{an}满足a1＝0，且an＋1－1＝2an(n∈N＋)．①求证：数列{an＋1}为等比数列；②求数列{an}的前n项和Sn.[解析]　①证明：∵an＋1－1＝2an，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝1，∴数列{an＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．②由①知，an＋1＝(a1＋1)×2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1－1.∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(20－1)＋(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1－1)＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－n＝2n－n－1.[破题技法]　1.(1)应用等比数列前n项和公式时，特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．2．项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.