2020-2021学年2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系综合训练题

十一　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

　基础全面练　(15分钟·35分)

1.(2021·运城高一检测)关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，则a满足(　　)

A．a≥－4且a≠0    B．a＞4且a≠0

C．a≥4    D．a≠0

【解析】选A.因为关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，

则，

解得a≥－4且a≠0.

2．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)

A．(x＋2)2＝3    B．(x－2)2＝3

C．(x－2)2＝5    D．(x＋2)2＝5

【解析】选A.因为x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3＝0，

所以(x＋2)2＝3.

3．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为(　　)

A．－1    B．    C．－    D．1

【解析】选C.由m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则m＋n＝，mn＝－1，

所以＋＝＝＝－.

4．方程4x2－12x＝3的解为________．

【解析】因为4x2－12x＝3，

所以4x2－12x－3＝0，

因为a＝4，b＝－12，c＝－3，

所以Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×(－3)＝

192>0，

所以x＝＝

＝.

答案：x＝

5．已知关于x的方程x2－mx＋m－1＝0的两根为x1，x2，且x＋x＝5，则m＝________．

【解析】根据根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m－1，x＋x＝2－2x1x2＝m2－2m＋2＝5，

解得m＝－1或m＝3，经检验m＝－1或m＝3都符合题意．

答案：－1或3

6．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋2(k＋1)＝0(k≠－).

(1)判断该一元二次方程根的情况．

(2)已知该一元二次方程的一根为－2，求k的值．

【解析】(1)因为Δ＝[－(2k＋3)]2－4×2(k＋1)

＝4k2＋12k＋9－8k－8

＝4k2＋4k＋1＝(2k＋1)2.

因为k≠－，所以Δ>0，

所以该方程有两个不相等的实数根．

(2)把x＝－2代入原方程，得(－2)2－(2k＋3)×(－2)＋2(k＋1)＝0，解得k＝－2.

　　　【补偿训练】

 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，BC＝8 cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s．

(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值．

(2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

【解析】(1)因为S△PCQ＝×2t(16－4t)，

S△ABC＝×8×16＝64，所以×2t(16－4t)＝64×，

整理得：t2－4t＋4＝0，解得：t＝2.

答：当t＝2时，△PCQ的面积为△ABC面积的.

(2)△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等，

即：当S△PCQ＝S△ABC时，×2t(16－4t)＝64×，整理得：t2－4t＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0，所以此方程没有实数根，

所以△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等．

　综合突破练　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(2021·武汉高一检测)下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)

A．x2＋2x＋1＝0    B．x2＋2x＋2＝0

C．x2－1＝0    D．x2－2x－1＝0

【解析】选B.对于选项A：因为Δ＝22－4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，选项A不合题意；

对于选项B：Δ＝22－4×1×2<0 ，所以方程没有实数根，选项B符合题意；

对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根x＝±1，选项C不符合题意；

对于选项D：因为Δ＝2－4×1×>0，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．

2．(多选题)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)

A．－9    B．－5    C．5    D．9

【解析】选BD.设方程的两根为x1，x2，

由题意，得x＋x＝45.

所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45.

因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，

所以a2－2×2a＝45.

解得a1＝－5，a2＝9.

又因为Δ＝a2－8a，

当a＝－5时，Δ>0，此时方程有两实数根．

当a＝9时，Δ>0，此时方程有两实数根．

　　　【补偿训练】

 (多选题)若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程不可能是(　　)

A．x2＋3x－2＝0　　　B．x2－3x＋2＝0

C．x2－2x＋3＝0    D．－x2＋3x－2＝0

【解析】选AC.两个根为x1＝1，x2＝2，则两根的和是3，积是2.A项中两根之和等于－3，两根之积等于－2，所以此选项不正确；

B项中两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；

C项中两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；

D项中两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确．

3．若m，n满足m2＋5m－3＝0，n2＋5n－3＝0，且m≠n.则＋的值为(　　)

A．    B．－    C．－    D．

【解析】选D.因为m，n满足m2＋5m－3＝0，

n2＋5n－3＝0，且m≠n，

所以m，n可看作方程x2＋5x－3＝0的两个根，

所以m＋n＝－5，mn＝－3，

所以＋＝＝＝.

　　　【补偿训练】

 一元二次方程x2－2x－1＝0的解集是(　　)

A．{1}

B．{1＋，－1－}

C．{1＋，1－}

D．{－1＋，－1－}

【解析】选C.方程x2－2x－1＝0，

变形得：x2－2x＝1，

配方得：x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2，

开方得：x－1＝±，

解得：x＝1＋或x＝1－，

所以原方程的解集为{1＋，1－}．

4．(2021·阳春高一检测)若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，则α2－3β的值是(　　)

A．3　　　B．15　　　C．－3　　　D．－15

【解析】选B.因为α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，

所以α2＋3α－6＝0，即α2＝6－3α，由根与系数的关系可知：α＋β＝－3，

所以α2－3β＝6－3α－3β＝6－3＝6－3×＝15.

　　　【补偿训练】

 已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是(　　)

A．14    B．12

C．12或14    D．以上都不对

【解析】选B.解方程x2－12x＋35＝0得x＝5或x＝7.因为3＋4＝7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x＝7不符合题意，所以三角形的周长＝3＋4＋5＝12.

【误区警示】本题易忽视三角形的两边之和大于第三边而错误地认为7也是三角形的一条边，导致答案错选C.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个实数根，则xx2＋x1x的值是________．

【解题指南】由一元二次方程根与系数的关系，求出x1＋x2，x1x2，即可求解．

【解析】根据题意，由根与系数的关系得x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，

所以xx2＋x1x＝x1x2＝×＝15.

答案：15

　　　【补偿训练】

 已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2＝0有两个实数根x1和x2，当x－x＝0时，m的值为________．

【解题指南】根据一元二次方程有解的条件，Δ＝2－4m2≥0解出m的范围，再根据根与系数的关系，求出x1＋x2，x1x2，结合条件即可求出满足题意的m值．

【解析】由题意得Δ＝2－4m2≥0，解得m≤.

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝m2.

由x－x＝0，得＝0.

若x1＋x2＝0，即－＝0，

解得m＝.

因为>，可知m＝不合题意，舍去；

若x1－x2＝0，即x1＝x2，由Δ＝0，得m＝.

故当x－x＝0时，m＝.

答案：

6．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x＋n－2＝0的两根，则n的值为________．

【解析】当2为底边长时，则a＝b，a＋b＝8，

所以a＝b＝4.

因为4，4，2能围成三角形，

所以n－2＝4×4，解得n＝18.

当2为腰长时，a，b中有一个为2，

则另一个为6.

因为6，2，2不能围成三角形，

所以此种情况不存在．

答案：18

三、解答题

7．(10分)已知关于x的方程mx2－(m－1)x－1＝0.

(1)求证：对于任意实数m，方程总有实数根；

(2)若x1，x2是原方程的两根，且＋＝2x1x2＋1，求m的值．

【解析】(1)当m＝0时，方程化为x－1＝0，即x＝1，方程有一个实根；

当m≠0时，Δ＝[－(m－1)]2－4m×(－1)＝(m＋1)2≥0，方程有两个实根．

综上，对于任意实数m，方程总有实数根．

(2)因为x1，x2是方程mx2－(m－1)x－1＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－.

又因为＋＝2x1x2＋1，

所以＝2x1x2＋1，

所以＝2×＋1，

整理得m2＋m－1＝0，

解得m＝或m＝.

　　　【补偿训练】

 已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根．

(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．

【解析】(1)因为x2－(m－3)x－m＝0，

所以Δ＝b2－4ac＝[－(m－3)]2－4×1×

(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

(2)因为x2－(m－3)x－m＝0，方程的两实根为x1，x2，

所以x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.

因为x＋x－x1x2＝7，

所以(x1＋x2)2－3x1x2＝7，

即(m－3)2－3×(－m)＝7，

解得m1＝1，m2＝2，

即m的值是1或2.