高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.2 对数运算法则导学案

课后素养落实(四)　对数运算法则

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)

A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb

C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac

B　[利用对数的换底公式进行验证，

logab·logca＝·logca＝logcb，则B正确．]

2．lg －2lg ＋lg 等于(　　)

A．lg 2　 B．lg 3 

C．lg 4　　　　 D．lg 5

A　[法一：lg －2lg ＋lg ＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2.

法二：lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A．]

3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)

A．a－2 B．3a－(1＋a)2

C．5a－2 D．－a2＋3a－1

A　[∵a＝log32，

∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)

＝3a－2(a＋1)＝a－2.]

4．计算log225·log32·log59的结果为(　　)

A．3　 B．4　　　　

C．5　　　　 D．6

D　[原式＝··＝··＝6.]

5．若x＝60，则＋＋的值为(　　)

A．1 B． 

C．2 D．－1

A　[＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1．]

二、填空题

6．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.

20　[∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，

∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.]

7．计算100－log98·log4＝________.

2　[100－log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.]

8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．

81　[logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81．]

三、解答题

9．计算下列各式的值：

(1)lg －lg ＋lg .

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

[解]　(1)原式＝(lg 25－lg 72)－lg 2＋lg(72×5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

10．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．

(1)若设x＝at，试用a，t表示y；

(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．

[解]　(1)由换底公式，

得logax＋－＝3(a＞1)，

所以logay＝(logax)2－3logax＋3.

当x＝at时，logax＝t，

所以logay＝t2－3t＋3.

所以y＝a(t≠0)．

(2)由(1)知y＝a＋，

因为0＜t≤2，a＞1，

所以当t＝时，ymin＝a＝8.

所以a＝16，此时x＝a＝64.

11．已知f(x)＝x＋log2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为(　　)

A．37 B．6 

C．36 D．9

C　[∵f(x)＝x＋log2，

∴f(x)＋f(9－x)＝＋

＝9.

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝[f(1)＋f(8)]＋[f(2)＋f(7)]＋[f(3)＋f(6)]＋[f(4)＋f(5)]＝9×4＝36.]

12．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)

A．logax2＝2logax

B．logax2＝2loga|x|

C．loga(xy)＝logax＋logay

D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|

AC　[∵xy>0，∴A中，若x<0，则不成立；C中，若x<0，y<0也不成立，故选AC．]

13．log425－2log410＋log45·log516的值是________．

1　[log425－2log410＋log45·log516

＝log425－log4100＋×＝log4＋

＝log4 ＋log416＝－1＋2＝1．]

14．已知函数f(x)＝f(f(0))＝3a，则a＝________；f(log2a)＝________.

2　1　[f(0)＝30＋1＝2，

∴f(f(0))＝f(2)＝4a－2＝3a，

∴a＝2，f(log2a)＝f(log22)＝f(1)＝2×12－1＝1．]

15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a＞0且a≠1)，求log8的值．

[解]　由对数的运算法则，可将等式化为

loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，

所以(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．

整理得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，

配方得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，

所以所以＝.

所以log8＝log8＝log232－1＝－.