高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案

这是一份高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案，共6页。
第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式授课提示：对应学生用书第53页[基础梳理]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商数关系：＝tan__x．2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  1．“一个口诀”诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．2．两个注意(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．3．两个推广tan(－α)＝，tan(＋α)＝－.[四基自测]1．(基础点：同角关系)已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(　　)A．－2　　　　　　 B．2C.  D．－答案：D2．(基础点：诱导公式)sin 210°cos 120°的值为(　　)A.　　　　　　 B．－C．－  D．答案：A3．(基础点：诱导公式)tan 225°＝________．答案：1授课提示：对应学生用书第54页考点一　同角三角函数关系的应用挖掘1　公式的直接应用/ 自主练透[例1]　(1)(2020·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)A.　　　　　　　　 B．－C.  D．－[解析]　cos α＝＝，∴tan α＝＝－.[答案]　D(2)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)A．－  B．C．±  D．[解析]　由cos α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，OP＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sin α＝.[答案]　B在本例(1)中，如果只知sin α＝－，则tan α＝________．答案：±挖掘2　关于sin α、cos α的齐次式问题/互动探究[例2]　(1)(2020·平顶山联考) 已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝(　　)A.  B．－C．－3  D．3[解析]　由＝5知tan α＝2，∴cos2 α＋sin 2α＝＝＝.[答案]　A(2)已知tan α＝－，求2sin2α＋sin αcos α－3cos2α的值．[解析]　∵sin2α＋cos2α＝1，cos α≠0，∴原式＝＝＝＝－.挖掘3　“sin α±cos α”“sin αcos α”及“1”之间的转化/自主练透[例3]　(1)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　)A.　　　　　　　　 B．－C.  D．－[解析]　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－.[答案]　B(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．[解析]　因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.[答案]　44(3)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．[解析]　∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1.∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，∴sin(α＋β)＝－.[答案]　－[破题技法]　同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ次幂升降(1)对于含有根号的，即形如(其中A是可以转化为形如a2的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求值. (2)对于含有高次的三角函数式，一般借助于因式分解、约分、构造sin2θ＋cos2θ＝1来降低次数出现根号或高次幂的结构形式考点二　诱导公式的应用[例]　(1)已知cos＝，则sin＝________．[解析]　sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.[答案]　－(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)．①化简f(α)；②若α＝－，求f(α)的值．[解析]　①f(α)＝＝＝＝＝.②当α＝－时，f(α)＝f(－)＝＝＝＝＝.[破题技法]　1.诱导公式的作用是异角化同角：2．应用诱导公式时，注意：(1)明确函数名是变，还是不变；(2)明确函数值符号是正还是负；(3)明确是否直接用公式；(4)明确各公式的应用顺序．3．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．若本例(1)中条件不变，求sin的值．解析：sin＝sin＝－cos＝－.考点三　同角关系的诱导公式的综合应用挖掘1　以化为“同名”函数为主线/自主练透[例1]　(1)已知tan α＝2，则cos(π＋α)·cos的值为________．[解析]　依题意得cos(π＋α)cos＝cos αsin α＝＝＝.[答案]　(2)已知α∈，tan α＝2，求cos值．[解析]　由题意得，α∈.∴sin α＝，cos α＝.∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＝.挖掘2　以化为“同角”函数为主线/互动探究[例2]　(1)已知sin＋cos α＝－，则cos＝(　　)A．－　　　　　　　　 B.C．－  D．[解析]　由sin＋cos α＝－，展开化简可得sin＝－，所以cos＝cos＝sin＝－.故选C.[答案]　C(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝__________．[解析]　因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.[答案]　－(3)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin α＝，则sin β＝________．[解析]　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.[答案]　挖掘3　以“变式”为主线/互动探究[例3]　(1)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为(　　)A．－1  B．1C．3  D．－3[解析]　因为f(4)＝3，所以asin α＋bcos β＝3，故f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝－asin α－bcos  β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.[答案]　D(2)(2020·福州调研)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝________．[解析]　由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0①tan α－6sin β－1＝0②∴tan α＝3，即＝3，又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，∴sin α＝.[答案]　[破题技法]　1.先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系求解，用诱导公式时务必先使其符合公式形式：变其角，合其形，求其值．2．诱导公式与同角关系式结合起来，进行“三变”，变角、变名、变式变名：主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦↔余弦，切↔弦．变角：主要沟通已知角与所求角间的联系：用已知角表示所求角．