人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理集体备课课件ppt

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“道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线,然后进一步确定:“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面;“二生三”是指天、地分开后,形成中间的“空”;“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此,古人观察地平线、天地和万物的存在状态,最后总结成“一生二,二生三,三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理,可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量;推广到三维空间,仍然为给出一组三维的基底,可以生成空间中的所有向量.
1.平面向量中的结论(1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
微练习已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则m的取值范围是　　　　　　. 
答案 {m|m≠-3}
解析 要使c=λa+μb成立,则只需a与b不共线,即只需满足 ,即3m≠2m-3,故m≠-3.
2.空间中的共线向量基本定理两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
微判断若向量a∥b,则一定存在实数λ,有b=λa.(　　)答案 ×
微练习已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　A.0　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.2
解析 若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,则 解得k=-1.
3.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.
名师点析证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.
微判断(1)若p与a,b共面,则p=xa+yb.(　　)
答案 (1)×　(2)√　(3)×
微思考向量a,b均是非零向量,a,b不共线,在空间中任取一点O,作 若向量c与a,b共面,则表示c的有向线段所在的直线与平面OAB的关系是什么?提示 表示c的有向线段所在直线与平面OAB平行或该直线在平面OAB中.
4.空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.
名师点析(1)任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底;任意一组空间的基底都可生成空间的所有向量;每一个空间向量都可被分解到任意一组基底中基向量的三个不同方向;同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的.(2)对空间任一点O,及不共线的三点A,B,C,若
则P,A,B,C四点共面的充要条件是x+y+z=1.
微判断(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.(　　)(2)若{a,b,c}为空间的一组基底,则a,b,c全不是零向量.(　　)(3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底,则一定有a与b共线.(　　)(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.(　　)答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)×
例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在
反思感悟1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.本例中紧紧围绕 之间的倍数关系,正是体现了共线向量定理的应用要领.2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.这一结论可逆向解决已知条件为向量平行的若干问题.3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线的三种方法:
变式训练1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且
例2如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分
反思感悟证明空间三向量共面或四点共面的方法向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题,如,本例中当MN和CD、DE没有关联的端点时要说明
(2)点M是否在平面ABC内?
又它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,
反思感悟空间向量有无数组基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.比如此例中将能否构成基底问题转化为一个方程组的解的讨论.
变式训练3下列说法正确的是(　　)A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.A,B,M,N是空间中的四个点,若 不能构成空间的一个基底,则点A,B,M,N共面D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}基向量对应相等
答案 C解析 A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以A错;B项中空间基底有无数个,所以B错;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
反思感悟1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
变式训练4在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.
(2)求直线AC1与MN的夹角.
例5如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,求满足
反思感悟选定空间中不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量,再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止.空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的向量组{a,b,c}可以表示出任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.正是利用唯一性,本例中当把 利用基底表示出来后,就能形成一一对应,进而得到x,y,z的值.本例中基底是明确的,但要灵活运用线性运算朝着基底转化是关键.
思维拓展——空间向量基本定理的体积形式
当P在平面ABC或平面ABD或平面ACD时易证结论也成立.
1.给出下列命题,其中错误的是(　　)A.空间任意三个向量都可以作为一组基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.若向量a+b,b+c,c+a是空间一个基底,则a,b,c也是空间一个基底D.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
解析 A选项,空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底,故A错;B选项,若a∥b,则a,b与任何向量都共面,故不能构成空间的一个基底,故B对;C选项,设d是空间任意一个向量,由题意存在唯一一组实数(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,则a,b,c也是空间的一个基底,故C对;D选项,∵{a,b,c}是空间向量的一个基底,则a,b与向量m=a+c一定不共面,∴{a,b,m}也可以构成空间向量的一个基底,故D对.故选A.
2.下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　)
A.P∈直线AB B.P∉直线ABC.O,A,B,P四点共面D.P,A,B三点共线
4.自然界中,构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞,其形状一般是平行六面体,具体形状大小由它的三组棱长a,b,c及棱间夹角α,β,γ(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞,其中a=2,b=c=1,α=60°,β=90°,γ=120°,则该晶胞的对角线AC1的长为　　　　　. 
5.在正四面体P-ABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若