数学选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离教学ppt课件

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某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?
1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:
名师点析(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
微判断点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
微练习点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　)
2.两条平行直线之间的距离(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)图示:
(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.
(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离
要点笔记(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
微判断(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.(　　)(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(　　)答案 (1)×　(2)√
解析 两条直线方程分别可化为3x-2y-12=0,3x-2y+2=0,则所求距离
(2)直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2 ,则C的值为(　　)A.9　　　　B.11或-9　　　　C.-11　　　　D.9或-11
例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.
(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
(2)解 (方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
反思感悟1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
延伸探究若将本例(2)改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为　　　　　. 
答案 x+3y-5=0解析 将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.
例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为　　　　　. (2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　　. (3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方程为　　　　　. 
变式训练(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为(　　)
(2)到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是(　　)A.3x-4y-11=0B.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0D.3x-4y+11=0或3x-4y+9=0
(3)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是　　　　　. 
答案 (1)A　(2)B　(3)x+2y-3=0
(2)到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹是两条与该直线平行的直线,设其方程为3x-4y+m=0(m≠-1).
(3)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1).
易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.
错解 设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.
错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.
【规范答题】正解 当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.
即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.
防范措施在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　)
2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　)
3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　　. 
解析 由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,
5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为　　　　　,它们之间的距离为　　　　　. 
解析 由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1.
6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
解 (方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
解得k=0或k=1.∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0.当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.