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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课文配套课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课文配套课件ppt，共53页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，激趣诱思，知识点拨，答案C，1答案B，2答案A，1答案D，答案B等内容，欢迎下载使用。
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?
前照灯由灯泡、反射镜、配光镜三部分组成
1.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
微思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?提示 “两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.
(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示 抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
名师点析1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
微练习以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y
解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
微判断(1)抛物线关于顶点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )答案 (1)× (2)√ (3)√
微思考怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?提示 一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.
例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6]C.(2,4)D.[2,4]
解析 由题意知抛物线y2=4x的准线为x=-1,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),则|AF|=x1+1.
解得x=1,∵B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,∴1
(3)解 由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴A与B关于x轴对称,
反思感悟研究抛物线的几何性质要从三个方面入手(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
变式训练1已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,
例2(1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足 <4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与曲线C( )A.恰有一个公共点B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点D.没有公共点(2)已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求直线AB的方程.
解得k=±2.所以直线AB的方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0.
反思感悟1.直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
2.求抛物线弦长问题的方法(1)一般弦长公式
(2)焦点弦长设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
延伸探究若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.
(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
此时直线l平行于x轴.当k≠0时,①式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
(ⅰ)当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;(ⅱ)当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;(ⅲ)当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;当k>1时,l与C没有公共点.
例3(1)抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是 . (2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解析 如图所示,设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.过点P作PM⊥l,垂足为M.则|PM|=|PF|.设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.
(2)解 方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离
反思感悟1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.
变式训练3已知P为抛物线y= x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是( )A.13B.12C.11D.10
解析 化抛物线y= x2为标准形式x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,∵|PA|+|PF|≥|AF|,∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.
易错点——因不理解抛物线的标准方程的形式而致错案例设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
故所求抛物线的标准方程为y=8x2.
错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,则m=( )
2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为( )
3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是( )
4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 ,则|QF|= .
解析 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,
5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解 如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且坐标分别为
所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1+x2+2p≠0,x1=x2,即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°.
6.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.(1)若|AB|=10,求实数m的值;(2)若OA⊥OB,求实数m的值.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,解得m=-8或m=0(舍去).所以m=-8,经检验符合题意.
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?
前照灯由灯泡、反射镜、配光镜三部分组成
1.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
微思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?提示 “两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.
(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示 抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
名师点析1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
微练习以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y
解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
微判断(1)抛物线关于顶点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )答案 (1)× (2)√ (3)√
微思考怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?提示 一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.
例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6]C.(2,4)D.[2,4]
解析 由题意知抛物线y2=4x的准线为x=-1,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),则|AF|=x1+1.
解得x=1,∵B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,∴1
(3)解 由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴A与B关于x轴对称,
反思感悟研究抛物线的几何性质要从三个方面入手(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
变式训练1已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,
例2(1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足 <4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与曲线C( )A.恰有一个公共点B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点D.没有公共点(2)已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求直线AB的方程.
解得k=±2.所以直线AB的方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0.
反思感悟1.直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
2.求抛物线弦长问题的方法(1)一般弦长公式
(2)焦点弦长设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
延伸探究若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.
(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
此时直线l平行于x轴.当k≠0时,①式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
(ⅰ)当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;(ⅱ)当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;(ⅲ)当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;当k>1时,l与C没有公共点.
例3(1)抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是 . (2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解析 如图所示,设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.过点P作PM⊥l,垂足为M.则|PM|=|PF|.设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.
(2)解 方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离
反思感悟1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.
变式训练3已知P为抛物线y= x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是( )A.13B.12C.11D.10
解析 化抛物线y= x2为标准形式x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,∵|PA|+|PF|≥|AF|,∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.
易错点——因不理解抛物线的标准方程的形式而致错案例设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
故所求抛物线的标准方程为y=8x2.
错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,则m=( )
2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为( )
3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是( )
4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 ,则|QF|= .
解析 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,
5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解 如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且坐标分别为
所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1+x2+2p≠0,x1=x2,即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°.
6.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.(1)若|AB|=10,求实数m的值;(2)若OA⊥OB,求实数m的值.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,解得m=-8或m=0(舍去).所以m=-8,经检验符合题意.
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