苏科版数学九年级上册期末模拟试卷12（含答案）

这是一份苏科版数学九年级上册期末模拟试卷12（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．太阳从东方升起
C．掷一次骰子，向上一面点数是7
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．为了考查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和极差分别是（ ）
A．13，11B．14，11C．12，11D．13，16
3．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．两根异号
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
5．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
6．⊙O的半径为10，两平行弦AC，BD的长分别为12，16，则两弦间的距离是（ ）
A．2B．14C．6或8D．2 或14
7．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：
①abc＞0
②2a﹣3b=0
③b2﹣4ac＞0
④a+b+c＞0
⑤4b＜c
则其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
9．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
10．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为 ℃（精确到1℃）．
11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ．
12．一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为 ．
13．某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率为 ．
14．已知⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且AB=，则AB所对的圆周角为 ．
15．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为 ．
16．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为 ．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是 ．
18．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是 ．

三、解答题
19．解方程：
（1）x2+2x=1； （2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．
20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
21．有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后
（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ；
（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．
22．某市发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图，如图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
23．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
24．如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积．
25．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
26．如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；
（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．
27．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．
①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．
28．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．

参考答案
一、选择题
1．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．太阳从东方升起
C．掷一次骰子，向上一面点数是7
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【解答】解：A、是必然事件，故A不符合题意；
B、是必然事件，故B不符合题意；
C、是不可能事件，故C不符合题意；
D、是随机事件，故D符合题意；
故选：D．

2．为了考查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10， 16，8，17，19，则这组数据的中位数和极差分别是（ ）
A．13，11B．14，11C．12，11D．13，16
【解答】解：将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，
中位数为：13；
极差=19﹣8=11．
故选：A．

3．方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．两根异号
【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程2x2﹣5x+3=0有两个不相等的实数根．
故选：B．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【解答】解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB==13，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=＞，
∴⊙O与AB的位置关系是相离，
故选：C．

5．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，
∴对称轴是x=﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．

6．⊙O的半径为10，两平行弦AC，BD的长分别为12，16，则两弦间的距离是（ ）
A．2B．14C．6或8D．2 或14
【解答】解：如图①，当弦AC，BD在⊙O的圆心同侧时，
作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，
∵OE⊥AC AC∥BD，
∴OF⊥BD，
∴AE=AC=6，BF=BD=8，
在Rt△AOE中
OE===8
同理可得：
OF=6
∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2；
如图②，当弦AC，BD在⊙O的圆心两侧时，
同理可得：EF=OE+OF=8+6=14
综上所述两弦之间的距离为2或14．
故选：D．

7．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：
①abc＞0
②2a﹣3b=0
③b2﹣4ac＞0
④a+b+c＞0
⑤4b＜c
则其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，
由函数图象开口向上可知，a＞0，由①知，c＜0，
由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=﹣＞0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确；
②因为函数的对称轴为x=﹣=，故2a=﹣3b，即2a+3b=0；故此选项错误；
③因为图象和x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故此选项正确；
④把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，故此选项错误；
⑤当x=2时，y=4a+2b+c=2×（﹣3b）+2b+c=c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴⑤c﹣4b＞0，故此选项正确；
其中正确信息的有①③⑤，
故选：B．

8．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴=，
∵D、E为OB的三等分点，
∴==2，
∴=2，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H，
由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，
同理得；G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG=OB，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG=DE，
∴=，
过C作CQ⊥AB于Q，如图3．
S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，
∴4×8=5CQ，
∴CQ=，
S△OCF=OF•OH=×4×4=8，
S△CGB=BG•CQ=××=8，
S△AFG=×4×2=4，
∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴=（）2=，
∴=，
∴S四边形DEGF=S△CFG=；
所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，
∴OB==，
∴OD=，
所以④结论不正确；
本题结论正确的有：①③．
故选：C．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上.）
9．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB∥DE ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．

10．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为 23 ℃（精确到1℃）．
【解答】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈23℃．
故答案为23．

11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 6 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°=360°×2，
解得n=6．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：6．

12．一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为 2 ．
【解答】解：由平均数的公式得：（﹣1﹣2+1+2+x）÷5=0，
解得x=0；
∴方差=[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]÷5=2．
故答案为：2．

13．某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率为 20% ．
【解答】解：设降价的百分率为x，由题意得2500（1﹣x）2=1600，
解得x1=0.2，x2=﹣1.8（舍）．
所以平均每次降价的百分率为20%．
故答案为20%．

14．已知⊙O半径为1，A、B在⊙O上，且AB=，则AB所对的圆周角为 45或135 ．
【解答】解：如图所示，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=，
在Rt△AOC中，OA=1，AC=，根据勾股定理得：OC==，即OC=AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°，
同理∠BOC=45°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOB与∠ADB都对，
∴∠ADB=∠AOB=45°，
∵大角∠AOB=270°，
∴∠AEB=135°，
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．
故答案为：45或135．

15．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为 5 ．
【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴===（）2=，
∴△ACD的面积=5，
故答案是：5．

16．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为 ．
【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB===30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，
∴BD=OB•cs∠OBD=2×cs30°=2×=，
∴BC=2BD=2．
∴等边△ABC的边长为2．
故答案为：2．

17．在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是 1＜x＜2或x＞2+ ．
【解答】解：由题意抛物线：y=（x﹣2）2﹣，
对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），
沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+；
如图③，由题意得：
当y=1时，（x﹣2）2﹣=1，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
∴C（2﹣，1），F（2+，1），
当y=1时，﹣（x﹣2）2+=1，
解得：x1=3，x2=1，
∴D（1，1），E（3，1），
由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；
故答案为1＜x＜2或x＞2+．

18．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是 ．
【解答】解：如图，∵△CDB′是由□CDB翻折，
∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CDB′，AD=DB=DB′，
∴∠DBB′=∠DB′B，
∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，
∴∠ABB′=∠ACE，
∵AD=DB=DB′=3，
∴∠AB′B=90°，
∵∠ACE=∠ABB′，∠CAE=∠BAB′，
∴△ACE∽△ABB′，
∴∠AEC=∠AB′B=90°，
在RT△AEC中，∵AC=4，AD=3，
∴CD==5，
∵AC•AD=•CD•AE，
∴AE==，
在RT△ACE中，CE===．
故答案为．

三、解答题（本大题共有10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解题时写出必要的文字说明，推理步骤或演算步骤.）
19．（8分）解方程：
（1）x2+2x=1；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．
【解答】解：（1）方程配方得：x2+2x+1=2，即（x+1）2=2，
开方得：x+1=±，
解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）=0，
解得：x1=3，x2=1．

20．（8分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
[来源:学.科.网]
21．（8分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后
（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ；
（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．
【解答】解：（1）菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图形；角，轴对称图形，
则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）列表如下：其中A，B，C为中心对称图形，D不为中心对称图形，
所有等可能的情况有12种，其中都为中心对称图形的有6种，
则P==．

22．（8分）某市发生地震后，某校学生会向全校1 900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图，如图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值是 32 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），
m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32，
故答案为：50、32；
（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，
∴这组数据的平均数为16；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．

23．（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 （2，0） ；
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【解答】解：（1）如图；D（2，0）（4分）
（2）如图；；
作CE⊥x轴，垂足为E．
∵△AOD≌△DEC，
∴∠OAD=∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度；
（3）∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧=，
设圆锥底面圆半径为r，则，
∴．

24．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OP，如图
∵OD=OP
∴∠OPD=∠ODP
∵∠APC=∠AOD
∴∠APC+∠OPD=∠ODP+∠AOD，
又∵PD⊥BE
∴∠ODP+∠AOD=90°
∴∠APC+∠OPD=90°
即∠APO=90°
∴PO⊥AP
∴AP是⊙O的切线
（2）解：在Rt△APO中，
∵AP=，PO=4，
∴AO=，即，
∴∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∴∠OPC=30°
在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，
∴PC=
∴
又∵PD⊥BE
∴PC=CD
∴∠POD=120°，，
∴S阴影=S扇形OPBD﹣S△OPD=．

25．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
【解答】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，
则（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]=2000，
整理，得：x2﹣70x+1200=0，
解得：x1=30，x2=40（舍去），
答：该商品销售价是30元/件；
（2）设该商品每天的销售利润为y，
则y=（x﹣20）•[250﹣10（x﹣25）]
=﹣10x2﹣700x+10000
=﹣10（x﹣35）2+2250，
答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．

26．（10分）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；
（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．
【解答】解：（1）∵BC=2AD，点E为BC中点，
∴BC=2CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）∵四边形AECD为平行四边形，
∴∠D=∠AEC，
∵∠EAF=∠CAD，
∴∠EAC=∠DAF，
∴△AEC∽△ADF，
（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE==a，
∵△AEC∽△ADF，
∴=，即=，
∴DF=a，
∴CF=CD﹣DF=a﹣a=a，
∵AE∥DC，
∴===．

27．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．
①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．
【解答】解：（1）y=ax﹣3的相关函数y=，
将A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，
解得a=1；
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，
①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+
得m2﹣4m+=，
解得：m=2+（舍去），或m=2﹣，
当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：
﹣m2+4m﹣=，
解得：m=2+或m=2﹣．
综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣；
②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=，
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．

28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），
∴，
∴，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；
（2）如图1，
∵点C关于直线l的对称点为N，
∴N（2，3），
∵直线y=kx+b经过C、M两点，
∴，
∴，
∴y=x+3，
∵y=x+3与x轴交于点D，
∴D（﹣3，0），
∴AD=2=CN
又∵AD∥CN，
∴CDAN是平行四边形；
（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，
则MP=4﹣a，
又∠HMP=45°，
∴HP=AP=，
Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，
即：，解得：，
∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．
A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣