期中检测卷（难）（含解析）九年级数学上册同步单元检测（苏科版）

这是一份期中检测卷（难）（含解析）九年级数学上册同步单元检测（苏科版），共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学上册同步单元检测（苏科版）期中检测卷
总分：150分 范围：九年级上册1-4章 难度：较难
一、单选题(共24分)
1．(本题3分)方程经过变形后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．(本题3分)两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
3．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．(本题3分)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（　　）

A．m＝2，n＝ B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝7，n＝
5．(本题3分)王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为，如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是（ ）
A．3份 B．4份 C．6份 D．9份
6．(本题3分)如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（ ）

A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断
7．(本题3分)如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（ ）

A． B． C． D．
8．(本题3分)如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交 AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是(     )

A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变


二、填空题(共30分)
9．(本题3分)若关于x的一元二次方程的一个根为3，则__________．
10．(本题3分)已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，方差是3，另一组数据：3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的方差是__________．
11．(本题3分)如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则_________秒．

12．(本题3分)如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为_____．

13．(本题3分)如图，点O是矩形的对角线上的一点，经过点D，且与边相切于点E，若，，则该圆半径是__________．

14．(本题3分)如图，已知的半径为5，是直径，点A是圆上任意一点，点D、E是直径上的动点，且，则的最小值为__________．

15．(本题3分)如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是_____．

16．(本题3分)若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为_____．
17．(本题3分)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
18．(本题3分)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．则CG的最小值为_____．


三、解答题(共96分)
19．(本题10分)体育课上，九年级（1）班和（3）班决定进行“1分钟跳绳”比赛，两个班各派出6名同学，成绩分别为（单位：次）：
九（1）：187，178，175，179，187，191；
九（3）：181，180，180，181，186，184
（1）九年级（1）班参赛选手成绩的众数为__________次，中位数为__________次；
（2）求九年级（3）班参赛选手成绩的方差．




20．(本题10分)关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2满足3x1+3x2﹣x1x2＝6，求k的值．





21．(本题10分)小红和父母计划寒假期间从A：拙政园、B：狮子林、C：上方山森林动物世界、D：天平山风景名胜区这4个景点中随机选择景点游玩．
（1）若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中C：上方山森林动物世界的概率__________；
（2）若小红一家从中随机选择两个景点游玩，请用列举法（画树状图或列表）求选中A、C两个景点的概率．



22．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．




23．(本题10分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD．
（2）⊙D的半径为　 　（结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是　 　；




24．(本题10分)定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对友好方程．如2x2-7x+3=0的友好方程是3x2-7x+2=0．
（1）写出一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程 ．
（2）已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1=2，x2=-4，它的友好方程的两根、 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其友好方程cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程2020x2+bx-1=0的两根是x1=-1，x2=．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1)2-bx+b=2020的两根为 ．









25．(本题12分)如图，在矩形中，，．为边上的一个动点（不与、重合），⊙O是的外接圆．
（1）若，⊙O交于点、．求的长度；

（2）若的长度为，⊙O与的位置关系随着的值变化而变化，试探索⊙O与的位置关系及对应的的取值范围．

26．(本题12分)（问题情境）（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA=5，则点P到点A的最短距离为 ．

（直接运用）（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（构造运用）（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．
（灵活运用）（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB=4，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是 ．

27．(本题12分)在平面直角坐标系中，对于线段的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点为线段的三等分点，即，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到，将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到，则称线段进行了三等分变换，其中记为点三等分变换后的对应点．
例如：如图2，线段，点的坐标为，点N的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，那么线段MN三等分变换后，可得：的坐标为，点的坐标为
若点的坐标为，点的坐标为，直接写出点与点的坐标；
若点的坐标是，点在轴正半轴上，点在第二象限．当线段的长度为符合条件的最小整数时，求的长；

点是以原点为圆心，为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为，当点在圆内部或圆上时，求线段的取值范围及取最大值时点的坐标．




参考答案与试题解析
1．A
【分析】
用配方法把一元二次方程配成完全平方即可．
【详解】
解：，
移项，两边同时加4得，
配方得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了配方法，解题关键是熟练掌握配方法的步骤和方法，准确进行计算．
2．B
【分析】
两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
3．D
【分析】
根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】
∵的外心P到三个顶点的距离相等，
∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图，

由图可知，点P的坐标为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键．
4．A
【分析】
先将x2+mx﹣n＝0变形为x（x+m）＝n ，则可根据题意求出长方形的长为x+m，宽为x，并利用已知分别求解小正方形的边长及x＝，即可求得n＝．
【详解】
解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n ，
∴图中长方形的长为x+m，宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，
∴x＝，
∴n＝x（x+m）＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，结合正方形和矩形的面积公式，利用条件x（x+m）＝n进行代换是解决本题的关键，是基础题．
5．B
【分析】
首先根据概率确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出红色区域应占的份数．
【详解】
解：∵他将转盘等分成12份，指针最后落在红色区域的概率为，
设红色区域应占的份数是x，
∴，
解得：x=4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何概率的求法，根据面积之比即所求几何概率得出是解题关键．
6．A
【分析】
首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得到：，
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2.5．
∵BC=3，
∴BE＜BC，
∴点E在⊙B的内部，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．
7．C
【分析】
连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°，然后根据弧长公式计算的长．
【详解】
解：连接OC，如图，

∵BC//OA，
∴∠AOB+∠OBC=180°，∠C=∠AOC，
∵∠AOB=130°，
∴∠OBC=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=50°，
∴∠AOC=∠C=50°，
∴的长=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
8．D
【解析】
分析：连接AC交BD于O，连接EO、AG，根据菱形的性质得出∠AOB=90°，AO=CO，证得A、E、G、O四点共圆，得出∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，求出∠APG=∠EOB=∠DBC，即可求出答案．
详解：
连接AC交BD于O，连接EO、AG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵EG是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，
∴A、E、G、O四点共圆，
∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，
∴∠EOG=∠APG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵AE=PE，
∴OE∥BC，
∴∠EOB=∠DBC=∠ABC，
∵菱形ABCD固定，
∴∠ABC的度数固定，
即∠APG的度数不变，
故选D．
点睛：本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
9．-3
【分析】
把x=3代入，整理即可求出的值．
【详解】
解：把x=3代入，得
，
∴，
∴，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
10．27
【分析】
根据方差的定义得到把数据x1，x2，x3，…xn都扩大3倍，则方差扩大3的平方倍，然后每个数据减2，方差不变，于是得到3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的方差为27．
【详解】
∵x1，x2，x3，…xn的平均数是2，方差是3，
∴3x1，3x2，…3xn的方差＝3×32＝27，
∴3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的方差为27．
故答案为27．
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
11．4-
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，
∴PA=2t，PC=，
∵，
∴2t=，解得：t1=4-，t2=4+（舍去），
故答案是：4-．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．
12．30°
【分析】
连接BD、AC,根据AB=BC=DA可得，得到∠ABD-∠ADB-∠BAC，根据三角形的内角和定理列式计算即可.
【详解】

解：如图：连接BD、AC，
∵AB＝BC＝AD，
∴
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，
∵∠ADB＝∠DCP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°，
解得，∠DBP＝15°．
∴的度数为30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
13．
【分析】
连接OE，根据勾股定理求出BD，根据切线的性质得到OE⊥AB，证明△BEO∽△BAD，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算，得到答案．
【详解】
解：连接OE，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，
∴BD==5，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠OEB=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴∠OEB=∠A，
∴OE//AD，
∴△BEO∽△BAD，
∴，即，
∵OE=OD，
∴
解得，OE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．10
【分析】
延长AO交⊙O于T，连接DT，ET．证明四边形ADTE是平行四边形，推出AD=ET，可得AD+AE=AE+ET≥10，由此即可解决问题．
【详解】
解：延长AO交⊙O于T，连接DT，ET．

∵BD=CE，OB=OC，
∴OD=OE，
∵OA=OT，
∴四边形ADTE是平行四边形，
∴AD=ET，
∵AD+AE=AE+ET≥10，
∴AD+AE的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了圆的知识，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于这里填空题中的压轴题．
15．4或6
【分析】
延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，可得四边形ADBC是矩形，依据△ABD与△ABC面积相等，线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，进而得到x的值．
【详解】
如图所示，延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，则四边形ADBC是矩形，
∴△ABD与△ABC面积相等，
又∵线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分，
∴四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等，
∴6×（10﹣6）＝x（10﹣x），
解得x＝4或6，
故答案为：4或6．

【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点.
16．8﹣4或8+4
【分析】
分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．
【详解】
解：由题意可得，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝4，OA1⊥BC于点D，
∴CD＝2，
∴OD＝＝2，
∴A1D＝4﹣2，
∴△ABC的面积＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
A2D＝4+2
同理可得，△ABC的面积＝8+4，
故答案为：8﹣4或8+4．

【点睛】
本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
17．②③④
【分析】
①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】
①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
18．﹣1
【分析】
根据BF⊥AE得是不会随着点的运动改变的，所以G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，因此当O、G、C在同一条直线上时，即可求出CG的最小值．
【详解】
解：如图，取AB得中点O，连接OC，
根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，所以OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BO＝1，BC＝2，
∴OC＝＝，
∴CG的最小值为OC﹣OG＝﹣1，
故答案为：﹣1．

【点睛】
本题考查动点轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够发现题目中动点的轨迹是圆，利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段的最小值．
19．（1）187，183；（2）5
【分析】
（1）根据众数和中位数的定义直接求解即可；
（2）先求出这组数据的平均数，再代入方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵187出现了2次，出现的次数最多，
∴九年级（1）班参赛选手成绩的众数为187次；
把这些数从小大排列为175，178，179，187，187，191，
则中位数为=183（次）．
故答案为：187，183；
（2）九年级（3）班参赛选手的平均成绩是(181+180+180+181+186+184)=182（次），
方差是：[(181-182)2+2×(180-182)2+(181-182)2+(186-182)2+(184-182)2]=5（次2）．
【点睛】
本题考查了中位数、众数、算术平均数、以及方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[( x1-)2+×(x2-)2+( x3-)2…+(xn-)2]
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．（1）证明见解析；（2）k
【分析】
（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．
【详解】
（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k
＝（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，
∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，
∴3（2k+1）﹣2k＝6，
∴k．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程．
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据概率公式即可求解；
（2）列出表格，数出所有的情况数，再数出满足条件的情况数，利用概率公式两者相除即可．
【详解】
解：（1）小红一家从中随机选择一个景点，共有四种结果，分别是选择A、选择B、选择C、选择D，其中，选择C只有一种结果，所以概率为；
（2）列表如下图所示：
由表可知，共有12种情况，其中选中A、C的情况有2种，所以概率为．
【点睛】
本题考查了用列举法（列表或画树状图）的方式求概率，解决本题的关键是要理解概率的含义，掌握求概率的公式即可，考查了学生分析问题的能力．
22．（1）见解析；（2）3．
【分析】
（1）连接OE，DE，根据等腰三角形的性质和直径所对圆周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．
【详解】
（1）证明：如图，连接OE，DE，

∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠CEB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
∴∠A＝∠DEC，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠A+∠ADE＝90°，
∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝ ，BC＝CE，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（2r+2）2+BC2＝（）2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+BC2＝（r+2）2，
∴BC2＝（r+2）2﹣r2，
∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（）2，
解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．
∴⊙O的半径为3．
【点睛】
本题主要考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
23．（1）图见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据垂进定理，作出AB、BC的垂直平分线交点为圆心D．
（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．
（3）根据圆锥特点，先求出的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答．
【详解】
解：（1）
（2）⊙D的半径AD
（3）根据图上信息，可知道


的长度l= =
扇形ADC围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．
圆锥的底面圆半径
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．
24．（1）-8x2+2x+1＝0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x1=0，x2=2021．
【分析】
（1）根据新定义得出其“友好方程”即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得结论，根据原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；
（3）先根据“友好方程”的根的特点得出-x2+bx+2020=0，即x2-bx-2020=0的两根为x1=-1，x2=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2020=0，把x-1看做整体即可求解．
【详解】
解：（1）一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程是-8x2+2x+1＝0；
故答案为：-8x2+2x+1＝0
（2）x3＝，x4＝；互为倒数
证明：∵ 一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为
友好方程cx2+bx+a=0的两根为
∴ ．
．
即原方程的两根与友好方程的两根互为倒数．
故答案为：；互为倒数
（3）∵方程2020x2+bx-1=0的两根是x1=-1，x2=，
∴该方程的“友好方程”为：-x2+bx+2020=0，即x2-bx-2020=0的两根为x1=-1，x2=2020，
则（x-1）2-bx+b=2020，即（x-1）2-b（x-1）-2020=0中x-1=-1或x-1=2020，
∴该方程的解为x1=0，x2=2021．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键．
25．（1）；（2）当时，⊙O与相离；当时，⊙O与相切；当时，⊙O与相交
【分析】
（1）过点作于点，延长交于点，连接．在中，利用勾股定理求出，再在中求出即可解决问题．
（2）如图1中，当与相切于点时，连接并反向延长交于点．求出相切时，的值即可判断．
【详解】
解：（1）解：过点作于点，延长交于点，连接，

四边形是矩形，
，
是的直径．
，
四边形是矩形，
，，
．
，
是的中位线，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
（2）解：如图1中，当与相切于点时，连接并反向延长交于点．

由（1）易得，，，
在中，，即，
解得，
当时，与相离，
当时，与相切，
当时，与相交．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）3（2）（3），理由见解析（4）
【分析】
（1）当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短，故可求解；
（2）找到BC中点O，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短，故可求解；
（3）先证明△ABM≌△BCN，再得到AM⊥BN，得到P的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解；
（4）先求出∠M=60°，要想△ABM的面积最大，则需要点M到AB的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作⊙D,根据三线合一得到△ABM是等边三角形，故可求出此时的面积．
【详解】
（1）当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短，
AP=AO-OP=5-2=3
故答案为：3；
（2）如图，连接AO，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短，
∵AC=BC=2，
∴r=,
∴AO=
∴AP的最小值为AO-r=
故答案为：；

（3）∵AB=BC,∠ABM=∠BCN，BM=CN
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN
∴∠CBN+∠ABP=90°
∴∠BAM+∠ABP=90°
∴AM⊥BN，
故点P点在以AB为直径的圆上运动，连接OC，与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置；
∵AB=6，
∴OC=
∴PC的最小值为；

（4）连接OA,OB
∵OA=OB=4=AB，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°
∴∠ACB=∠AOB=30°
∵AM⊥AC
∴∠M=60°

∵AB=4，要使△ABM面积最大，则点M到AB的距离最大，
如图，∵∠M=60°，∴点M在以∠ADB=120°的⊙D上，
当AM=BM时，点M到AB的距离最大
∴△ABM是等边三角形
∴△ABM的最大面积为．
．
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用．
27．（1）；（2）；（3），，点的坐标为
【分析】
（1）根据题目对“三等分变换”的定义，得到点和点的坐标；
（2）根据PQ的长度为符合条件的最小整数时，分PQ为1或2讨论求解；
（3）过点作轴于点，先在中用勾股定理求出OP的长，在中，，，推出点在内部或在上运动，当为直径时，最大，推出，，得到PQ的取值范围，由和对称性可得，再根据平行四边形的性质求出点的坐标．
【详解】
解：，根据“三等分变换”的定义，
可知；
①当时，，
在中，如图，

，
，
，
点在轴负半轴上，不在第二象限，
，不符合题意；
②当时，
，
此时，点在第二象限符合题意；
如图，过点作轴于点，

在中，由勾股定理， ，
在中，，
点在内部或在上运动，
当为直径时，最大，
，
，
的取值范围：，
，
由对称性可知，
过点作轴于点，
过点作轴于点，
易证
，
，
，

又，
四边形是平行四边形，对角线的交点为，设，
则，
则有，
解得，
点的坐标为．
【点睛】
本题考查新定义题型，解题的关键是掌握圆的基本性质，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，中点公式等知识，利用分类讨论的思想解决问题．