2020-2021学年广西南宁市高三（上）摸底数学试卷（理科）（10月份）人教A版

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这是一份2020-2021学年广西南宁市高三（上）摸底数学试卷（理科）（10月份）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A＝{x|−1A.4个B.3个C.2个D.1个

2. 复数的虚部是（）
A.B.iC.iD.

3. 已知，均为单位向量，它们的夹角为120∘，＝λ−μ，若⊥，则下列结论正确的是（）
A.2λ+μ＝0B.2λ−μ＝0C.λ−μ＝0D.λ+μ＝0

4. 设直线x＝4与抛物线C:y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE（O为坐标原点）．则C的焦点坐标为（）
A.（，0)B.（，0)C.(1, 0)D.(2, 0)

5. 一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是( )
A.这组新数据的平均数为mB.这组新数据的平均数为a+m
C.这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准差为an

6. 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2AsinC=( )
A.1B.2C.3D.4

7. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）

A.4+4B.2+6C.3+3D.8

8. 已知α∈(0, π)，，则sinα的值为（）
A.B.C.D.

9. 射线测厚技术原理公式为I=I0e−ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8(单位：cm)，钢的密度为7.6(单位：g/cm3)，则这种射线的吸收系数为( )
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）

10. 已知过定点A(0, b)(b>0)的直线l与圆O:x2+y2＝1相切时，与y轴夹角为45∘．则直线l的方程为（）
A.x−y+＝0B.x+y−1＝0
C.x+y−＝0或x−y+＝0D.x+y−1＝0或x−y+1＝0

11. 已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，设双曲线C的左焦点为F，右顶点为B，点P为C上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝2|BF|，则双曲线C的离心率为（）
A.3B.2C.D.

12. 已知函数f(x)＝+x2−x，若a＝f(20.3)，b＝f(2)，c＝f(lg25)，则a，b，c的大小关系为（）
A.ca>bD.b>c>a
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

设x，y满足约束条件2x+3y−3≤02x−3y+3≥0y+3≥0 ，则z＝2x+y的最小值是________．

若(x+2)5＝x5+ax4+bx3+cx2+dx+e，则a+b+c+d+e的值为________．

已知球在底面半径为1、高为2的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．

已知a>，函数f(x)＝sinx+2x−，若f(1−3a)+f(a2−2a+3)≤0，则实数a的取值范围是________．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。

设数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an−(2n−3)．
(Ⅰ)计算a2，a3．猜想{an}的通项公式并利用数学归纳法加以证明；
(Ⅱ)记bn＝2n⋅an，求数列{bn}的前n项和Sn．

某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成[0, 10),[10, 20),[20, 30),[30, 40),[40, 50),[50, 60]六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．
(Ⅰ)求p和n的值；
(Ⅱ)根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？
(Ⅲ)将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中．随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望E(X)．
附：，其中n＝a+b+c+d．

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点E、F在侧棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，C1F＝2FC，点D、G在侧棱AB、AC上，且BD＝2DA，CG＝2GA．
(Ⅰ)证明：点G在平面EFD内；
(Ⅱ)若∠BAC＝90∘，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角A1−AB1−C1的余弦值．

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的离心率为，若M是椭圆上的一个点，且|MF1|+|MF2|＝4．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点P(2, y0)是椭圆C上位于第一象限内一点，直线l平行于OP（O为原点）交椭圆C于A、B两点，点D是线段AB上（异于端点）的一点，延长PD至点Q，使得，求四边形PAQB面积的最大值．

已知函数f(x)＝a(x−2)ex+(x−1)2，(a≠0, a∈R)．
(Ⅰ)当a＝−1时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a>0，证明：函数y＝f(x)有两个不同的零点．
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数），曲线C1与坐标轴交于（异于坐标原点O）两点M，N．
（1）求线段MN的长度；

（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M，N关于直线l对称，求直线l的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x−1|+|2x+a|，g(x)＝x+3．
(Ⅰ)当a＝−2时，求不等式f(x)(Ⅱ)设a>−1，且当x∈[−a2, 12]时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西南宁市高三（上）摸底数学试卷（理科）（10月份）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的运算法则即可求出复数，进而得出结论．
【解答】
∵ ＝＝+i，
故其虚部为：，
3.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
根据一组数据的平均数与方差、标准差的定义与性质，即可得出这组新数据的平均数、方差和标准差．
【解答】
解：一组数据的平均数为m，方差为n，
将这组数据的每个数都乘以a(a>0)，得到一组新数据，
则这组新数据的平均数为am，
方差为a2n，标准差为an．
故A，B，C选项错误，D选项正确.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用余弦定理求出csC，csA，即可得出结论．
【解答】
解：∵ △ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴ csC=16+25−362×4×5=18，csA=25+36−162×5×6=34，
∴ sinC=378，sinA=74，
∴ sin2AsinC=2sinAcsAsinC=2×74×34378=1．
故选：A．
7.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
C
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
由题意可得12=1×e−7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．
【解答】
解：由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，
∴ −ln2=−7.6×0.8μ，
即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．
∴ 这种射线的吸收系数为0.114．
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
−15
【考点】
简单线性规划
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
【解答】
x，y满足约束条件2x+3y−3≤02x−3y+3≥0y+3≥0 的可行域如图：
z＝2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由y=−32x−3y+3=0 ，解得A(−6, −3)，
则z＝2x+y 的最小值是：−15．
【答案】
242
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的面积求解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
[1, 4]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。
【答案】
（1）由a1＝1，an+4＝2an−(2n−7)可得，
a2＝2a3+1＝2+7＝3，a3＝6a2−1＝7−1＝5，
由数列的前三项可猜测数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列n＝2n−3；
利用数学归纳法证明如下：
当n＝1时，a1＝3×1−1＝4成立；
假设n＝k时结论成立，即ak＝2k−1，
那么，当n＝k+2时，ak+1＝2ak−(7k−3)＝2(3k−1)−(2k−8)＝2k+1＝6(k+1)−1，
∴ 当n＝k+8时，结论成立．
综上所述，对于任意n∈N*n＝2n−1成立；
（2）∵ bn＝5n⋅an＝(2n−1)⋅3n，
∴ ，①
，②
①-②得，
＝＝−6−(2n−7)×2n+1，
∴ Sn＝(5n−3)×2n+3+6．
【考点】
数列递推式
数学归纳法
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(1)(0.005+p+0.018+7.020+0.022+0.025)×10＝4，可得p＝0.01．
∴ n＝＝100．
（2）∵ n＝100，∴ “读书之星”有100×0.25＝25．
从而2×2列联表如下图所示，
将2×2列联表中的数据代入公式计算得：
K7＝≈3.030<2.841．
∴ 没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．
(Ⅲ)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为．
由题意得X∼B(20，）．
所以E(X)＝20×＝5．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
(Ⅰ)由频率分布直方图可知p＝0.01，抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．能求出n．
(Ⅱ)完成2×2列联表，求出K2≈3.030<3.841．从而没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．
(Ⅲ)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，由题意得X∼B(20，），由此能求出E(X)．
【解答】
(1)(0.005+p+0.018+7.020+0.022+0.025)×10＝4，可得p＝0.01．
∴ n＝＝100．
（2）∵ n＝100，∴ “读书之星”有100×0.25＝25．
从而2×2列联表如下图所示，
将2×2列联表中的数据代入公式计算得：
K7＝≈3.030<2.841．
∴ 没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．
(Ⅲ)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为．
由题意得X∼B(20，）．
所以E(X)＝20×＝5．
【答案】
（1）证明：连接DG，
∵ BD＝2DA，CG＝2GA，
∴ ，
∴ DG // BC，
∵ 直三棱柱ABC−A1B3C1，∴ BB1 // CC5，BB1＝CC1，
∵ B3E＝2EB，C1F＝5FC，∴ BE＝CF，
∴ 四边形BCFE是平行四边形，
∴ EF // BC，
∴ DG // EF，
∴ DG和EF共面，即点G在平面EFD内．
（2）∵ ∠BAC＝90∘，∴ BA⊥AC1A1⊥A6C1，
又AA1⊥平面A8B1C1，故AB7，AC1，AA1两两垂直，
以A5为原点，以A1C1，A5A，A1B1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A7−xyz，如图所示，
则A1(0, 5, 0)，2，4)，C1(1, 4, 0)，B1(3, 0, 1)，
∴ ＝(0, 1)，，−2，
设平面AB1C6的法向量为＝(x，y，则，即，
令y＝5可得＝(2，1，
又＝(1，41B1的一个法向量，
∴ cs<，>＝＝＝，
∴ 二面角A1−AB8−C1的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
平面的基本性质及推论
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由椭圆的定义及，得即，
设椭圆半焦距为c，因为，
b6＝a2−c2＝5，所以椭圆C的标准方程为．
由（1）得P(7, 1)，
设A(x1, y1)，B(x4, y2)，直线l的方程，
联立直线方程和椭圆方程，消去y整理可得：2x6+4tx+4t6−8＝0，
由Δ＝16t7−4*2*(6t2−8)>5，又t≠0，
则0所以弦长，
P到直线AB的距离为d，则，
设Q到直线AB的距离为d′，由，所以d′＝3d，
所以，
所以，
当且仅当t2＝2时取等号，所以四边形PAQB面积的最大值为4．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）由f(x)＝−(x−2)ex+(x−1)2，
得f′(x)＝−(x−1)ex+2(x−2)＝(x−1)(−ex+2)，
由f′(x)＝4，解得：x＝1或x＝ln2，
当x∈(−∞, ln8)，f(x)递减，
当x∈(ln2, 4)，f(x)递增，
当x∈(7, +∞)时，f(x)递减；
即f(x)在(−∞, ln2)递减，4)递增，+∞)递减；
（2）f′(x)＝a(x−2)ex+2(x−1)＝(x−4)(aex+2)，
当a>0时，aex+3>0，
由f′(x)<0得x<7，故f(x)在(−∞，
由f′(x)>0，得x>1，+∞)递增；
而f(1)＝−ae<5，f(2)＝1>0，
故f(x)在(8, +∞)上有唯一零点，2)上，
取b<0，且b则f(b)＝a(b−2)eb+(b−5)2>(b−2)+(b−1)3＝b(b−）>6，
故f(x)在(−∞, 1)上有唯一零点，1)上，
故a>3时，f(x)有两个不同的零点．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
曲线C的参数方程为：（α为参数），
所以圆心坐标为(−1，-），半径为4，
所以，
所以|MN|为圆的直径，所以|MN|＝4．
由点M、N关于直线l对称2与的直径，直线l经过点(−1，-），
由于，所以．
所以直线l的直线方程为：，即，转换为极坐标方程为．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程和直角坐标方程进行转换，利用直径所对的圆周角为90度求出MN的长．
（2）利用对称性的应用和直线垂直的充要条件的应用求出直线的方程，进一步转换为极坐标方程．
【解答】
曲线C的参数方程为：（α为参数），
所以圆心坐标为(−1，-），半径为4，
所以，
所以|MN|为圆的直径，所以|MN|＝4．
由点M、N关于直线l对称2与的直径，直线l经过点(−1，-），
由于，所以．
所以直线l的直线方程为：，即，转换为极坐标方程为．
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
结合图象可得，y<0的解集为(0, 2)，故原不等式的解集为(0, 2)．
（2）设a>−1，且当x∈[−a2, 12]时，f(x)＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，
故x≥a−2对x∈[−a2, 12]都成立．
故−a2≥a−2，
解得a≤43，
故a的取值范围为(−1, 43]．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)当a＝−2时，求不等式f(x)(Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a−2对x∈[−a2, 12]都成立，分析可得−a2≥a−2，由此解得a的取值范围．
【解答】
（1）当a＝−2时，求不等式f(x)设y＝|2x−1|+|2x−2|−x−3，则y=−5x,x<12−x−2,12≤x≤13x−6,x>1 ，它的图象非读书之星
读书之星
总计
男
女
10
55
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非读书之星
读书之星
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
非读书之星
读书之星
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100