2017年河南省商丘市宁陵县中考数学模拟试卷 解析版

这是一份2017年河南省商丘市宁陵县中考数学模拟试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题每一个小题都给出代号为A，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．3D．
2．（3分）在“北京2008”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为460 000 000帕的钢材．将460 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．46×107B．4.6×109C．4.6×108D．0.46×109
3．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
4．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝45°，则∠BOC的大小是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．22.5°
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝2B．（a2）3＝a5C．（2a2）2＝2a4D．a3•a6＝a9
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．为了解全国中学生的心理健康情况，应用采用全面调查方式
B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，应采用抽样调查方式
C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8
D．一组数据2，4，6，4的方差是2
8．（3分）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（ ）
A．2个B．3个C．5个D．10个
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
10．（3分）因式分解：xy2﹣x＝ ．
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝8cm，另一条直角边BC＝6cm．则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是 ．
13．（3分）在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝5，BC＝6，则sinC＝ ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB＝2，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ．
三．（本题共8小题，共75分）
17．（8分）先化简代数式，再求值：，其中a＝（﹣1）2017+tan60°．
18．（9分）某中学举行数学知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）二等奖所占的比例是多少？
（2）这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若给所有参赛学生每人发一张卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透明的袋子里，摇匀后任意摸出一张，求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率．
19．（9分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：△BCD∽△BEC；
（3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．
20．（9分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
21．（9分）如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y＝（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．
22．（10分）为庆祝“五一”劳动节，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配成A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道两侧营造节日气氛，按规定，搭配A造型需要甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配B造型需要甲种花卉50盆，乙种花卉70盆．
（1）符合题意的搭配方案有哪几种？
（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3交于A、B两点，且点A在y轴上，点B的坐标是（4，1）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C．
①求点C的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，求出此时PA+PC的值，若不存在，说明理由．
2017年河南省商丘市宁陵县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共9小题，每小题3分，满分27分）每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内。
1．（3分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．3D．
【分析】据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣，
故选：B．
2．（3分）在“北京2008”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为460 000 000帕的钢材．将460 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．46×107B．4.6×109C．4.6×108D．0.46×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：460 000 000＝4.6×108．
故选：C．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】由l1∥l2，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由∠1的度数求出∠4的度数，再由对顶角相等，由∠2的度数求出∠5的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝40°，
∴∠1＝∠4＝40°，
又∵∠2＝∠5＝75°，
∴∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝65°．
故选：C．
4．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝45°，则∠BOC的大小是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．22.5°
【分析】∠BAC为圆周角，∠BOC为圆心角，它们对着同弧，根据圆周角定理可求出∠BOC的度数．
【解答】解：由圆周角定理，得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°．
故选：A．
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝2B．（a2）3＝a5C．（2a2）2＝2a4D．a3•a6＝a9
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、3a2﹣a2＝2a2，故本选项错误；
B、（a2）3＝a6，故本选项错误；
C、（2a2）2＝4a4，故本选项错误；
D、a3•a6＝a3+6＝a9，故本选项正确．
故选：D．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，
由4﹣2x＞0，得x＜2，
不等式组的解集是1≤x＜2，
故选：D．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．为了解全国中学生的心理健康情况，应用采用全面调查方式
B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，应采用抽样调查方式
C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8
D．一组数据2，4，6，4的方差是2
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，众数与中位数的定义，方差的求解对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为：为了解全国中学生的心理健康情况，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
B、调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命，应采用抽样调查方式正确，故本选项错误；
C、一组数据8，8，7，10，6，8，9，按照从小到大的顺序重新排列：
6，7，8，8，8，9，10，
∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是8，
∵7个数中第4个数是8，
∴中位数是8，故本选项错误；
D、2，4，6，4的平均数为＝4，
方差＝[（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2]，
＝（4+0+4+0），
＝2，故本选项错误．
故选：A．
8．（3分）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（ ）
A．2个B．3个C．5个D．10个
【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确定个数．
【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，
从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个．
故选：C．
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
【分析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE＝90°，DF＝EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE＝DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．
【解答】解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB；
∵AD＝CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD＝90°，
∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△ADF∴S四边形CEFD＝S△AFC，（故④正确）．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝BC＝4．
∴DE＝DF＝4（故③错误）．
当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
此时S△CDE＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8（故⑤正确）．
故选：B．
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
10．（3分）因式分解：xy2﹣x＝ x（y+1）（y﹣1） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣1）＝x（y+1）（y﹣1），
故答案为：x（y+1）（y﹣1）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
12．（3分）已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝8cm，另一条直角边BC＝6cm．则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是 96πcm2 ．
【分析】根据圆锥的表面积＝侧面积+底面积计算．
【解答】解：圆锥的表面积＝×12π×10+π×62＝96πcm2．
故答案为：96πcm2
13．（3分）在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为 ．
【分析】用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6，
所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率＝＝．
故答案为．
14．（3分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝5，BC＝6，则sinC＝ ．
【分析】根据DE是BC的垂直平分线，得到CE＝BE＝5，CD＝BD＝3，∠CDE＝90°，由勾股定理得到DE＝＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE＝BE＝5，CD＝BD＝3，∠CDE＝90°，
∴DE＝＝4，
∴sinC＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB＝2，则k的值为 6+2 ．
【分析】设E（x，x），则B（2，x+2），根据反比例函数系数的几何意义得出x2＝2（x+2），求得E的坐标，从而求得k的值．
【解答】解：设E（x，x），
∴B（2，x+2），
∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象过点B、E．
∴x2＝2（x+2），
解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∴k＝x2＝6+2，
故答案为6+2．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 （10，3） ．
【分析】根据折叠的性质得到AF＝AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF＝6，然后设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，CF＝10﹣6＝4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【解答】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，
在Rt△AOF中，OF＝＝6，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
即EC的长为3．
∴点E的坐标为（10，3），
解法二：证明△AOF∽△FCE，求出EC即可．
故答案为：（10，3）．
三．（本题共8小题，共75分）
17．（8分）先化简代数式，再求值：，其中a＝（﹣1）2017+tan60°．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，求出a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝，
当a＝（﹣1）2017+tan60°＝﹣1时，原式＝＝．
18．（9分）某中学举行数学知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）二等奖所占的比例是多少？
（2）这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若给所有参赛学生每人发一张卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透明的袋子里，摇匀后任意摸出一张，求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率．
【分析】（1）用单位1减去其他各组的所占的百分比即可；
（2）先求得总人数，然后乘以其所占的百分比即可；
（3）小长方形的高等于该组的频数；
（4）一等奖的人数除以总人数即可得到抽到一等奖的概率．
【解答】解：（1）由1﹣10%﹣24%﹣46%＝20%，所以二等奖所占的比例为20%
（2）参赛的总人数为：20÷10%＝200人，
这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是：200×20%＝40人；
（3）
（4）摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率为：20÷200＝．
19．（9分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：△BCD∽△BEC；
（3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．
【分析】（1）连接OC，如图，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到直线AB是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理求得∠ECD＝90°，进而求得∠BCD＝∠E，根据∠CBD＝∠EBC，即可证明△BCD∽△BEC．
（3）设BD的长是x，因为△BCD∽△BEC，根据相似三角形的对应边成比例，可求出x的值，然后根据OB＝OA＝x+3求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：∵ED是直径，
∴∠ECD＝90°．
∴∠E+∠EDC＝90°．
又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠BCD＝∠E．
又∵∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
（3）解：∵，
∴．
∵△BCD∽△BEC，
∴．
设BD＝x，则BC＝2x．
又∵BC2＝BD•BE，（2x）2＝x（x+6）．
解得x1＝0，x2＝2．
∵BD＝x＞0，
∴BD＝2，
∴OA＝OB＝BD+OD＝2+3＝5．
20．（9分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF＝30°，sin∠DBF＝＝，cs∠DBF＝＝，
∵BD＝6米，
∴DF＝3（米），BF＝3（米），
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF＝CE＝3（米），CF＝BE＝CD﹣DF＝1（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝3（米），
∴AB＝（3+1）（米）．
答：铁塔AB的高为（3+1）m．
21．（9分）如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y＝（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．
【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式；
（2）根据三点横坐标的正负，得到A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式；
（3）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集．
【解答】解：（1）将A（1，2）代入双曲线解析式得：k2＝2，即双曲线解析式为y＝；
将B（m，﹣1）代入双曲线解析式得：﹣1＝，即m＝﹣2，B（﹣2，﹣1），
将A与B坐标代入直线解析式得：，
解得：k1＝1，b＝1，
则直线解析式为y＝x+1；
（2）∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限为减函数，
∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，
则y2＞y3＞y1；
（3）由A（1，2），B（﹣2，﹣1），
由y1＝k1x+b，y2＝，当y1＜y2时，
利用函数图象得：不等式k1x+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
22．（10分）为庆祝“五一”劳动节，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配成A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道两侧营造节日气氛，按规定，搭配A造型需要甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配B造型需要甲种花卉50盆，乙种花卉70盆．
（1）符合题意的搭配方案有哪几种？
（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？
【分析】（1）设搭配A种造型x个，则搭配B种造型（60﹣x）个，根据搭配60个造型所用得甲种花卉不超过4200盆、乙种花卉不超过3090盆，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各搭配方案；
（2）设搭配60个造型的成本价为w元，利用总成本＝搭配一个A种造型的成本×搭配A种造型的数量+搭配一个B种造型的成本×搭配B种造型的数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设搭配A造型x个，则搭配B造型（60﹣x）个，
依题意得：，
解得：37≤x≤40．
又∵x为正整数，
∴x可以为37，38，39，40，
∴共有4种搭配方案，
方案1：搭配A造型37个，B造型23个；
方案2：搭配A造型38个，B造型22个；
方案3：搭配A造型39个，B造型21个；
方案4：搭配A造型40个，B造型20个．
（2）设搭配60个造型的成本价为w元，则w＝1000x+1500（60﹣x）＝﹣500x+90000，
∵﹣500＜0，
∴w随x的增大而减小．
又∵37≤x≤40，且x为正整数，
∴当x＝40时，w取得最小值，最小值＝﹣500×40+90000＝70000，
即选用方案4成本最低，最低成本为70000元．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，
∠ADF+∠ABD＝90°，
则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3交于A、B两点，且点A在y轴上，点B的坐标是（4，1）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C．
①求点C的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，求出此时PA+PC的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）先由y＝﹣x+3，可得与y轴的交点A的坐标，再把B（4，1）和A（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；
（2）①设直线AB与x轴交于点D，则D（6，0），由△AOC∽△DOA可得，OC＝，即点C的坐标为（﹣，0）；
②由抛物线：y＝﹣x2+x+3，可得其对称轴为直线x＝，设点A关于x＝的对称点为A′（3，3），连接A′C交直线x＝于点P，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，运用两点间的距离公式求出A′C的长度，即为此时PA+PC的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴x＝0时，y＝3，即A的坐标为（0，3）．
把B（4，1）和A（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）①如图，设直线AB：y＝﹣x+3与x轴交于点D，则D（6，0）．
∵∠AOC＝∠DOA＝90°，∠OAC＝∠ODA＝90°−∠OAD，
∴△AOC∽△DOA，
∴，即，
解得OC＝，
∴点C的坐标为（﹣，0 ）；
②在抛物线的对称轴上存在一点P，能够使得△PAC的周长最小．理由如下：
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，
∴对称轴为直线x＝．
设点A（0，3）关于直线x＝的对称点为A′（3，3），连接A′C交直线x＝于点P，连接PA，则PA＝PA′，
此时PA+PC＝PA′+PC＝A′C，值最小，即△PAC 的周长的值最小．
∵A′（3，3），C（﹣，0 ），
∴A′C＝；
∴△PAC的周长最小时，PA+PC＝．