2021年河南省南阳市中原名校中考数学第二次大联考试卷 解析版

这是一份2021年河南省南阳市中原名校中考数学第二次大联考试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
2．（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国内生产总值从不到70万亿元增加到超过100万亿元．将100万亿用科学记数法表示正确（ ）
A．0.1×1015B．1×1015C．1×1014D．10×1014
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a2）3＝a6D．a2+a2＝a4
4．（3分）在体育模拟测试中，某班10名学生的成绩分别是60，58，62，66，68，66，67，63，69，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．66，65B．66，65.5C．66，66D．66，67
5．（3分）如图，AB∥CD，EG平分∠BEF交CD于点G．若∠EFC＝82°，则∠EGF的度数为（ ）
A．36°B．41°C．46°D．51°
6．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
7．（3分）某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有x个，则所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝120B．
C．x（x﹣1）＝120D．
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．3.5
9．（3分）如图，点A，B都在反比例函数y＝的图象上，AB的延长线交x轴于点C．已知AB＝BC，△AOC的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D在边AB上，且AD＝1，点E是边BC上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：22+＝ ．
12．（3分）不等式3x﹣5＞x﹣1的最小整数解是 ．
13．（3分）如图，△ABC的三个内角满足∠A＝∠B＝∠C．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD．若CD＝2，则AC＝ ．
14．（3分）五张完全相同的卡片上分别写有数字1，，，2，．闭上眼睛洗匀后随机抽取三张，以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的概率为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（5，0），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2+．
17．（9分）近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动．某学校认真策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类型的活动课程．为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果绘制出了两个尚不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校共有5000人，请你估计选择“体验”类课程的学生人数．
18．（9分）位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．
清明假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进20米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是BC的中点．以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
20．（9分）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）．
（1）求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？
（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每只肥羊的运费下降a元（0＜a≤18且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），交y轴于点C，连接AC，BC，已知OA＝2OC，且△ABC的面积为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q．抛物线上是否存在点P，使以P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，若AC＝BC，当点E在边AC上，AE＝4，BF＝2时，EF＝ ；
（2）如图2，若AC＝BC，当点E在AC的延长线上时，设AE＝m，BF＝n，求EF的长（用含m，n的式子表示）；
（3）如图3，若AC≠BC，当点E在CA的延长线上时，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
23．（11分）小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点C是半圆AmB上一动点，线段AB＝6，CD平分∠ACB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连接BD．当△BCD为等腰三角形时，求线段AC的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC的长度作为自变量x，BC，BD和CD的长度都是x的函数，分别记为yBC，yBD和yCD．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点C在半圆AmB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，BC，BD的长度，得到下表的几组对应值：
①上表中a的值是 ；
②操作中发现，“无需测量线段CD的长度即可得到yCD关于x的函数解析式”．请直接写出yCD关于x的函数解析式．
（2）小亮已在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示．
①请在同一坐标系中画出函数yBC和yCD的图象；
②结合图象直接写出当△BCD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值（结果保留一位小数）．
（3）小亮观察发现，函数yBD的图象有最低点．请你直接写出线段BD长度的最小值（写出精确值）．
2021年河南省南阳市中原名校中考数学第二次大联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分．下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）﹣2的绝对值为（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
2．（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国内生产总值从不到70万亿元增加到超过100万亿元．将100万亿用科学记数法表示正确（ ）
A．0.1×1015B．1×1015C．1×1014D．10×1014
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：100万亿＝100000000000000＝1×1014．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a2）3＝a6D．a2+a2＝a4
【分析】利用合并同类二次根式，完全平方公式，积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、﹣＝2﹣＝，计算正确，故A符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，，计算不正确，故B不符合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，计算不正确，故C不符合题意；
D、a2+a2＝2a2，计算不正确，故D不符合题意．
故选：A．
4．（3分）在体育模拟测试中，某班10名学生的成绩分别是60，58，62，66，68，66，67，63，69，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．66，65B．66，65.5C．66，66D．66，67
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：数据66出现了2次，出现次数最多，故这组数据的众数是55；
将这组数据从小到大的顺序排列58，60，62，63，65，66，66，67，68，69，
所以中位数是（，65+66）÷2＝65.5．
故选：B．
5．（3分）如图，AB∥CD，EG平分∠BEF交CD于点G．若∠EFC＝82°，则∠EGF的度数为（ ）
A．36°B．41°C．46°D．51°
【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝82°，根据角平分线定义得到∠BEG＝41°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EFC＝82°，
∴∠BEF＝∠EFC＝82°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG＝∠BEF＝×82°＝41°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠BEG＝41°．
故选：B．
6．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+3中，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象的开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，7），故选项B错误，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+3开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+3开口向下，顶点坐标为（2，7），
∴该函数的最大值为7，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
7．（3分）某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有x个，则所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝120B．
C．x（x﹣1）＝120D．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，＝120，
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．3.5
【分析】延长FE交CD于点G，由点E，F分别是对角线AC，BD的中点，从而得FG是△BCD的中位线，则有FG＝2.5，再由AD∥BC，则有FG∥AD，EG是△ACD的中位线，则有EG＝1，从而可求EF的长．
【解答】解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：
∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴FG∥BC，EG∥AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，FG∥EG，
∴E、F、G三点共线，
∴FG是△BCD的中位线，
∴FG＝BC＝2.5，
∵AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG＝AD＝1，
∴EF＝FG﹣EG＝1.5．
故选：B．
9．（3分）如图，点A，B都在反比例函数y＝的图象上，AB的延长线交x轴于点C．已知AB＝BC，△AOC的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，连接OB，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，＝＝1，即可得到AM＝2BN，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM＝S△BON＝|k|，即可得出ON＝2OM，从而得出OM＝MN＝NC，设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再求出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，连接OB，
∴AM∥BN，
∵AB＝BC，
∴＝＝，＝＝1，
∴AM＝2BN，
∵点A，B都在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOM＝S△BON＝|k|，
∴OM•AM＝ON•BN，
∴OM•2BN＝ON•BN，
∴ON＝2OM，
∴OM＝MN＝NC，
设OM＝a，则AM＝，
∴OC＝3a，
∴S△AOC＝•OC•AM＝×3a×＝k＝6，
解得k＝4．
故选：C．
10．（3分）如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D在边AB上，且AD＝1，点E是边BC上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】由旋转的性质可得∠DEF＝60°，通过证明△CEF∽△BDE，可得，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AB＝3，AD＝1，
∴BD＝2，∠ABC＝60°＝∠ACB，
∵射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，
∴∠DEF＝60°，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BDE＝∠DEF+∠CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△CEF∽△BDE，
∴，
∴CF＝＝﹣（BE﹣）2+，
∴CF的最大值为，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：22+＝ 7 ．
【分析】先化简有理数的乘方，算术平方根，然后再计算．
【解答】解：原式＝4+3＝7，
故答案为：7．
12．（3分）不等式3x﹣5＞x﹣1的最小整数解是 3 ．
【分析】不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，确定出最小整数解即可．
【解答】解：不等式3x﹣5＞x﹣1，
移项得：3x﹣x＞﹣1+5，
合并得：2x＞4，
解得：x＞2，
则不等式的最小整数解是3．
故答案为：3．
13．（3分）如图，△ABC的三个内角满足∠A＝∠B＝∠C．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD．若CD＝2，则AC＝ 2 ．
【分析】先利用三角形内角和求∠A＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°，再利用基本作图得到DE垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DA，所以∠DCA＝∠A＝30°，再判断△BCD为等边三角形得到BC＝CD＝2，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AC．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠ACB＝90°，
由作法得EF垂直平分AC，
∴DA＝DC＝2，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠B＝∠BCD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝CD＝2，
∴AC＝BC＝2．
故答案为2．
14．（3分）五张完全相同的卡片上分别写有数字1，，，2，．闭上眼睛洗匀后随机抽取三张，以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的概率为 ．
【分析】先列出从五张卡片中抽取3张的所有等可能结果，再找到能组成直角三角形的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【解答】解：从五张卡片中随机抽取3张，共有如下10种等可能结果，
（1，，）、（1，，2）、（1，，2）、
（，，2）、（1，，5）、（1，，5）、
（，，5）、（1，2，5）、（，2，5）、（，2，5），
其中以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的有（1，，）、（1，，2）、（，，5）这3种情况，
∴所得三角形恰好是直角三角形的概率为，
故答案为：．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（5，0），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 （3，3）或（2，﹣2） ．
【分析】分两情况画出图形，证明△BCD≌△ACE（AAS），再利用全等三角形的性质求出距离，从而得出C点坐标．
【解答】解：分两种情况：
（1）如图1所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA，交OA的延长线于E．
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD＝OE，
∵A（0，1），B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5，
设CE＝x，
∴BD＝5﹣x，AE＝x﹣1，
∴5﹣x＝x﹣1，
∴x＝3，
则点C坐标为（3，3）；
（2）如图2所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA，交AO的延长线于E．
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD＝OE，
设CE＝x，
∵AE＝1+x，BD＝5﹣x，
∴1+x＝5﹣x，
∴x＝2，
则点C坐标为（2，﹣2）．
综上可知点C坐标为：（3，3）或（2，﹣2）．
故答案为：（3，3）或（2，﹣2）．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2+．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝，
当a＝2+时，原式＝．
17．（9分）近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动．某学校认真策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类型的活动课程．为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果绘制出了两个尚不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 100 人；
（2）求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校共有5000人，请你估计选择“体验”类课程的学生人数．
【分析】（1）根据科技的频数是25，对应的百分比是25%，据此求得调查的总人数；
（2）由条形统计图的数据可得m＝，再用1分别减去其他五种类型的活动课程所占比例，即可求得扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数；利用百分比的意义求得自然的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用总人数5000乘“体验”类课程对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是25÷25%＝100（人），
故答案是：100；
（2）由题意可得m＝＝20，
∴扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数为：360°×（1﹣15%﹣20%﹣12%﹣25%﹣18%）＝36°，
自然有：100×15%＝15（人）；
补全条形统计图如下：
（3）5000×20%＝1000（人），
答：选择“体验”类课程的学生人数约1000人．
18．（9分）位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．
清明假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进20米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
【分析】根据题意可得∠BCA＝57°，CD＝20米，∠BDA＝40°，在Rt△ABC中，根据AB＝AC×tan∠BCA，在Rt△ABD中，根据AB＝AD•tan∠D，利用其公共边AB构造等量关系即可进行计算．
【解答】解：根据题意可知：∠BCA＝57°，CD＝35米，∠BDA＝40°，
∵BA⊥AD，
在Rt△ABC中，
∵AB＝AC×tan∠BCA，
∴AC＝，
∴AD＝AC+CD＝（+20）米，
在Rt△ABD中，
∵AB＝AD•tan∠D，
∴AB＝（+20）×tan40°，
解得，AB≈37（米）．
答：大雁塔的高度约为37米．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是BC的中点．以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，BD，根据圆的性质可知∠BDC＝90°，又因为点E是BC的中点，DE＝BE＝BC，∠EBD＝∠EDB，因为OB＝OD，∠OBD＝∠ODB，根据角度等量代换可知∠ODE＝90°，即可求解；
（2）连接OE，由图形可知：S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝BC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB，
∵∠ABC＝∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODE＝∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝90°，
∴OD⊥DE，OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，
∵O是AB的中点，
∴OB＝AB＝2，
在Rt△ABC中，BC＝AB•tanA＝4，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝2，S△OBE＝×OB•BE＝2，
由（1）知，∠ODE＝∠OBE＝90°，
∵OB＝OD，OE＝OE，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），
∴S△ODE＝S△OBE＝2，
∴S四边形OBED＝4，
∵∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴S扇形OBD＝＝，
∴S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD＝4﹣．
20．（9分）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）．
（1）求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？
（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每只肥羊的运费下降a元（0＜a≤18且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值．
【分析】（1）设A养殖场出栏m只肥羊，B养殖场出栏 （2m﹣400）只肥羊，根据A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，列出方程求解即可；
（2）根据总费用等于A、B两个养殖场运往甲、乙两地的费用之和列出函数关系式，根据函数的性质求最值；
（3）按（2）中方案总运费不超过30000元，以及0＜a≤18且a为整数，求出a的最小值．
【解答】解：（1）设A养殖场出栏m只肥羊，B养殖场出栏 （2m﹣400）只肥羊，根据题意得：
m+2m﹣400＝2000，
解得：m＝800．
答：A养殖场出栏800只肥羊，B养殖场出栏1200只肥羊；
（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只，则从A养殖场运往乙地（800﹣x）只，
从B养殖场运往甲地（1300﹣x）只，从B养殖场运往乙地 （x﹣100）只，
根据题意得：y＝25x+20（800﹣x）+18（1300﹣x）+24（×﹣100）＝11x+37000，
∵11＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵100＜x＜700，
∴x＝100时，y最小，
答：这批肥羊从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1200只，此时费用最少；
（3）总运费z＝100（25﹣x）+700（20﹣a）+1200（18﹣a）＝﹣2000a+38100，
由题意得：，
解得：4.05≤a≤18，且a为整数，
∴a的最小值为5．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），交y轴于点C，连接AC，BC，已知OA＝2OC，且△ABC的面积为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q．抛物线上是否存在点P，使以P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据图象与两轴交点的性质可得点A的坐标，再根据待定系数法可求得答案；
（2）设AC：y＝kx+b，将点A、C的坐标代入y＝kx+b得，利用待定系数法及两点间距离公式可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线交y轴于点C，
∴C（0，c），
∴OC＝c，
∵OA＝2OC，
∴OA＝2c，
∴A（﹣2c，0），
∵S△ABC＝•OC＝×（2c+1）•c＝c2+＝，
∴c＝﹣（舍去）或c＝3，
∴C（0，3），A（﹣6，0），
将c＝3，B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
∴
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+3．
（2）设AC：y＝kx+b，
将点A、C的坐标代入y＝kx+b得，
y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝（﹣m2﹣m+3）﹣（m+3）＝﹣m﹣3m，
令PQ＝OC，
∴﹣m2﹣3m＝3，
∴m1＝3+，m＝﹣3﹣，
∴P（﹣3+，）或（﹣3﹣，）．
∵PQ∥OC，
∴四边形PQOC是平行四边形．
22．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，若AC＝BC，当点E在边AC上，AE＝4，BF＝2时，EF＝ 2 ；
（2）如图2，若AC＝BC，当点E在AC的延长线上时，设AE＝m，BF＝n，求EF的长（用含m，n的式子表示）；
（3）如图3，若AC≠BC，当点E在CA的延长线上时，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接CD，证明△ADE≌△CDF，得出CF＝AE，根据勾股定理计算即可；
（2）连接CD，证明∠ADE＝∠CDF，进而证明△ADE≌△CDF，得出CF＝AE，根据勾股定理计算即可；
（3）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM，根据全等三角形的性质得到AE＝BM，DE＝DM，根据勾股定理证明结论．
【解答】解：（1）如图1，连接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD＝AD，∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE+∠ADE＝90°，∠A＝∠BCD，
∵DF⊥DE，
∴∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝4，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝6﹣4＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）如图2，连接CD，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC+∠CDE＝∠EDF+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝m，
∴AC＝BC＝CF﹣BF＝m﹣n，
∴CE＝m﹣（m﹣n）＝n，
∴EF＝＝；
（3）EF2＝AE2+BF2，
理由如下：如图3，过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
23．（11分）小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点C是半圆AmB上一动点，线段AB＝6，CD平分∠ACB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连接BD．当△BCD为等腰三角形时，求线段AC的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC的长度作为自变量x，BC，BD和CD的长度都是x的函数，分别记为yBC，yBD和yCD．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点C在半圆AmB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，BC，BD的长度，得到下表的几组对应值：
①上表中a的值是 4.0 ；
②操作中发现，“无需测量线段CD的长度即可得到yCD关于x的函数解析式”．请直接写出yCD关于x的函数解析式．
（2）小亮已在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示．
①请在同一坐标系中画出函数yBC和yCD的图象；
②结合图象直接写出当△BCD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值（结果保留一位小数）．
（3）小亮观察发现，函数yBD的图象有最低点．请你直接写出线段BD长度的最小值（写出精确值）．
【分析】（1）①利用测量法或勾股定理求出BC即可．②证明△ACD是等腰直角三角形，可得结论；
（2）①利用描点法画出函数图像即可．②三个函数图像的交点的横坐标即为AC的值；
（3）将△ABD绕A逆时针旋转90°得到△AEC，取AB中点G，求得CE最小值即可．
【解答】解：（1）①∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝≈4.0．
故答案为：4.0．
②∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCB＝45°，
∴∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴CD＝AC，
∴yCD＝x．
（2）①函数yBC和yCD的图象如图所示：
②由图象可得：当AC＝2.6或3.3或4.2时，△BCD为等腰三角形．
（3）如图，将△ABD绕A逆时针旋转90°得到△AEC，取AB中点G，连接CG、EG，
由旋转性质得：AB＝AE＝6，CE＝BD，∠GAE＝90°，
∵G为AB的中点，
∴AG＝3，
∴EG＝＝3，
∵两点之间线段最短，
∴EC+CG≥EG，
∴EC+3≥3，
∴BD＝CE≥3﹣3，
∴BD最小值为3﹣3．
养殖场
目的地
A
B
甲
25
18
乙
20
24
AC
0
1.0
2.0
3.0
4.0
4.5
5.0
5.5
6
BC
6
5.9
5.7
5.2
4.5
a
3.3
2.4
0
BD
6
5.0
4.2
3.7
4
4.5
5.3
6.3
8.5
养殖场
目的地
A
B
甲
25
18
乙
20
24
AC
0
1.0
2.0
3.0
4.0
4.5
5.0
5.5
6
BC
6
5.9
5.7
5.2
4.5
a
3.3
2.4
0
BD
6
5.0
4.2
3.7
4
4.5
5.3
6.3
8.5