2021年山东省菏泽市定陶区中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年山东省菏泽市定陶区中考数学一模试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省菏泽市定陶区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分其中是轴对称图形的是（　　）
A．齐鲁医院 B．华西医院
C．湘雅医院 D．协和医院
2．（3分）下列几何体中，正视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）
A．圆锥 B．长方体
C．圆柱 D．正方体
3．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
4．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）已知一种细胞的直径约为1.49×10﹣4cm，请问1.49×10﹣4cm这个数原来的数是（　　）
A．14900 B．1490000 C．0.0149 D．0.000149
6．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
7．（3分）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（　　）

A．54° B．72° C．108° D．144°
8．（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）从﹣，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为　 　．
10．（3分）因式分解：a2b﹣10ab+25b＝　 　．
11．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 　 　．

12．（3分）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行最短路程（π取3）是　 　cm．

13．（3分）为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为 　 　米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）

14．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B6的坐标是　 　．

三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内.）
15．（8分）（1）计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．
（2）解不等式组：．
16．（6分）计算：先化简，再求代数式（+）÷的值，其中a＝tan60°﹣2sin30°．
17．（8分）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，求出该方程两根．
18．（6分）为了共同建设”绿水青山”优美家园，某校用9000元购买了梧桐树和银杏树共80颗，其中购买梧桐树花费3000元，已知银杏树的单价是梧桐树的1.2倍，求梧桐树和银杏树的单价各是多少元．
19．（8分）如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．

20．（8分）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

22．（9分）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）王老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有　 　名，D类男生有　 　名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

23．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）若∠ABD＝2∠BAC，求证：CF为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为，tan∠BDC＝，求AC的长．

24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．


2021年山东省菏泽市定陶区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分其中是轴对称图形的是（　　）
A．齐鲁医院 B．华西医院
C．湘雅医院 D．协和医院
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：A．
2．（3分）下列几何体中，正视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）
A．圆锥 B．长方体
C．圆柱 D．正方体
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：A、圆锥的正视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为含有直径的圆，故本选项错误；
B、长方体的正视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形，但三个矩形的形状不一样，故本选项错误；
C、圆柱的正视图为矩形，左视图为距形，俯视图为圆，故本选项错误；
D、正方形的正视图为正方形，主视图为正方形，俯视图为正方形，故本选项正确；
故选：D．
3．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
【分析】根据中位数、众数的意义，分别求出这组数据的中位数、众数后，再进行选择即可．
【解答】解：一周锻炼5小时出现的次数最多，是14人次，因此众数是5小时；
将这40人的锻炼时间从小到大排列后，处在第20、21位的两个数都是5小时，因此中位数是5小时；
故选：C．
4．（3分）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】A、由图形可得两角互余，不合题意；
B、由图形得出两角的关系，即可做出判断；
C、根据图形可得出两角都为45°的邻补角，可得出两角相等；
D、由图形得出两角的关系，即可做出判断．
【解答】解：A、由图形得：α+β＝90°，不合题意；
B、由图形得：β+γ＝90°，α+γ＝60°，

可得β﹣α＝30°，不合题意；
C、由图形可得：α＝β＝180°﹣45°＝135°，符合题意；
D、由图形得：α+45°＝90°，β+30°＝90°，可得α＝45°，β＝60°，不合题意．
故选：C．
5．（3分）已知一种细胞的直径约为1.49×10﹣4cm，请问1.49×10﹣4cm这个数原来的数是（　　）
A．14900 B．1490000 C．0.0149 D．0.000149
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：1.49×10﹣4＝0.000149，
故选：D．
6．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边＝5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
【解答】解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝3，x2＝4，
则直角三角形两直角边分别为3、4，
所以斜边＝＝5，
所以该直角三角形斜边上的中线长＝．
故选：D．
7．（3分）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（　　）

A．54° B．72° C．108° D．144°
【分析】由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB．

∵PA、PB都为圆O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝144°．
∴∠C＝∠AOB＝×144°＝72°．
故选：B．
8．（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOF+∠EOA＝90°，
∵∠BOF+∠FBO＝90°，
∴∠EOA＝∠FBO，
∵∠BFO＝∠OEA＝90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO＝＝，
设AB＝，则OA＝1，根据勾股定理得：BO＝，
∴OB：OA＝：1，
∴S△BFO：S△OEA＝2：1，
∵A在反比例函数y＝上，
∴S△OEA＝1，
∴S△BFO＝2，
则k＝﹣4．
故选：B．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）从﹣，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为　　．
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵﹣，0，，π，3.5这五个数中，无理数有2个，
∴随机抽取一个，则抽到无理数的概率是，
故答案为．
10．（3分）因式分解：a2b﹣10ab+25b＝　b（a﹣5）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（a2﹣10a+25）＝b（a﹣5）2，
故答案为：b（a﹣5）2
11．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 　8　．

【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，
故答案为：8．

12．（3分）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行最短路程（π取3）是　10　cm．

【分析】将圆柱的侧面展开，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图所示，
∵底面半径2cm，
∴BD＝2π＝6cm，
∴AB＝＝＝10cm．
故答案为：10．

13．（3分）为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为 　10.4　米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）

【分析】根据题意可得，DE⊥BE，AB⊥BE，过点D作DC⊥AB于点C，所以四边形DEBC是矩形，再根据锐角三角函数即可求出AC的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：如图，

根据题意可知：
DE⊥BE，AB⊥BE，
过点D作DC⊥AB于点C，
所以四边形DEBC是矩形，
∴BC＝ED＝1.70，
DC＝EB＝15，
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AC＝5，
∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．
答：无人机距离地面的高度约为10.4米．
故答案为：10.4．
14．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B6的坐标是　（63，32）　．

【分析】首先利用直线的解析式，分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点An的坐标，即可得出点B6的坐标．
【解答】方法一：
解：∵直线y＝x+1，x＝0时，y＝1，
∴A1B1＝1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是：1＝20，A1的横坐标是：0＝20﹣1，
∴A2的纵坐标是：1+1＝21，A2的横坐标是：1＝21﹣1，
∴A3的纵坐标是：2+2＝4＝22，A3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1，
∴A4的纵坐标是：4+4＝8＝23，A4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1，
即点A4的坐标为（7，8）．
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．
即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．
∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．
故答案为：（63，32）．
方法二：
∵B1C1＝1，B2C2＝2，
∴q＝2，a1＝1，
∴B6C6＝25＝32，
∴OC1＝1＝21＝1，
OC2＝1+2＝22﹣1，
OC3＝1+2+4＝23﹣1…
OC6＝26﹣1＝63，
∴B6（63，32）．
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内.）
15．（8分）（1）计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先计算乘方、绝对值和零指数幂，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣+2×+1
＝﹣1+2﹣++1
＝2；

（2）解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
解不等式﹣≤1，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
16．（6分）计算：先化简，再求代数式（+）÷的值，其中a＝tan60°﹣2sin30°．
【分析】根据分式的运算顺序进行化简，再根据特殊角三角函数值求出a的值，代入即可．
【解答】解：原式＝×
＝×
＝，
因为a＝tan60°﹣2sin30°＝﹣2×＝﹣1．
所以原式＝＝．
17．（8分）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，求出该方程两根．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根，则a﹣6≠0，且△≥0，即Δ＝（﹣8）2﹣4（a﹣6）×9＝280﹣36a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值；
（2）将a的最大整数值代入（a﹣6）x2﹣8x+9＝0，即可求出该方程两根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根，
∴a﹣6≠0，且△≥0，即Δ＝（﹣8）2﹣4（a﹣6）×9＝280﹣36a≥0，解得a≤7，
∴a的取值范围为a≤7且a≠6，
所以a的最大整数值为7；

（2）将a＝7代入（a﹣6）x2﹣8x+9＝0，得x2﹣8x+9＝0，
∵Δ＝64﹣36＝28，
∴x＝＝4±．
18．（6分）为了共同建设”绿水青山”优美家园，某校用9000元购买了梧桐树和银杏树共80颗，其中购买梧桐树花费3000元，已知银杏树的单价是梧桐树的1.2倍，求梧桐树和银杏树的单价各是多少元．
【分析】设该校购进梧桐树每棵x元，则购进银杏树每棵1.2x元，由题意：某校用9000元购买了梧桐树和银杏树共80颗，其中购买梧桐树花费3000元，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解；设该校购进梧桐树每棵x元，则购进银杏树每棵1.2x元，
根据题意得 +＝80，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
则2x＝1.2×100＝120，
答：该校购进梧桐树每棵100元，购进银杏树每棵120元．
19．（8分）如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．

【分析】作AE⊥CD，用BD可以分别表示DE，CD的长，根据CD﹣DE＝AB，即可求得BC的长，即可解题．
【解答】解：作AE⊥CD，
∵CD＝BD•tan60°＝BD，CE＝BD•tan30°＝BD，
∴AB＝CD﹣CE＝BD，
∴BD＝21m，
CD＝BD•tan60°＝BD＝63m．
答：⑪建筑物的高度CD为63m．

20．（8分）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
22．（9分）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）王老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有　3　名，D类男生有　1　名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

【分析】（1）根据B类有6+4＝10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数；
（2）利用（1）中求得的总人数乘以对应的比例即可求得C类的人数，然后求得C类中女生人数，同理求得D类男生的人数；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）（6+4）÷50%＝20．
所以王老师一共调查了20名学生．
（2）C类学生人数：20×25%＝5（名）
C类女生人数：5﹣2＝3（名），
D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，
D类学生人数：20×10%＝2（名），
D类男生人数：2﹣1＝1（名），
故C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图
．
（3）由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）若∠ABD＝2∠BAC，求证：CF为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为，tan∠BDC＝，求AC的长．

【分析】（1）连接OC，根据同圆的半径相等推角相等，再通过已知角的关系推CO∥ED，证明∠OCF＝90°，从而证明CF为⊙O的切线；
（2）连接BC，由圆周角定理得出tan∠BDC＝tan∠BAC＝，设BC＝x，则AC＝2x，根据勾股定理得出，求出x＝2则可得出答案．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，

∵CE⊥DB，
∴∠DEF＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COF＝∠A+∠ACO＝2∠BAC，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝∠COF，
∴CO∥ED，
∴∠OCF＝∠DEF＝90°，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线．
（2）解：连接BC，

∵，
∴∠BDC＝∠BAC，
∴tan∠BDC＝tan∠BAC＝，
设BC＝x，则AC＝2x，
∵⊙O半径为，
∴AB＝2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∴x＝2，
∴AC＝4．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD＝﹣2x2+10x，根据二次函数表达式求出极值；
（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a+9＝5，
∴a＝﹣1，
y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5；

（2）当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝5，
∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
设P（x，﹣x2+4x+5），
∴D（x，﹣x+5），
∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，
∵AC＝4，
∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x，
∴当x＝时，
∴即点P（，）时，S四边形APCD最大＝；

（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，

∵MN∥AE，MN＝AE，
∴△HMN≌△AOE（AAS），
∴HM＝OE＝1，
∴M点的横坐标为x＝3或x＝1，
当x＝1时，M点纵坐标为8，
当x＝3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（﹣1，0），
∴直线AE解析式为y＝5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y＝5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x＝2上，
∴N（2，10+b），
∵AE2＝OA2+OE2＝26，
∵MN＝AE，
∴MN2＝AE2，
∴MN2＝（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2＝1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x＝2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N＝M2N，
∴1+（b+2）2＝26，
∴b＝3，或b＝﹣7，
∴10+b＝13或10+b＝3，
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）；当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．