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数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数练习
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这是一份数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数练习，共183页。试卷主要包含了规定等内容，欢迎下载使用。
专题22.3.3 二次函数压轴题-周长问题 同步练习
1.规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”，
（1）求抛物线与x轴的“亲近距离”；
（2）在探究问题：求抛物线与直线y=x−1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗?请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．
3．如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
4．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；
（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点，点是抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标；
②过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
8．抛物线经过点
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线沿轴向下平移后，所得新抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），若，求新抛物线的解析式；
（3）已知点是（2）中新抛物线上的一点，点是该抛物线对称轴上的一点，求使的值最小时点的坐标．
9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点
（1）求A点和点B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标．
10． 如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点是抛物线对称轴上一点，当取得最小值时，求点的坐标．
（3）当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，直接写出的取值范围．
11．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为 ；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
14． 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
参考答案
1．（1）2；（2）不同意他的看法；理由见解析
【分析】（1）把y＝x2﹣2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；
（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，设P（t，t2﹣2t+3），则Q（t，t﹣1），则PQ＝t2﹣2t+3﹣（t﹣1），然后利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”，然后对他的看法进行判断；
【详解】
解：（1）抛物线化为顶点式为：y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”为2；
（2）不同意他的看法．理由如下：
如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，
设P（t，t2﹣2t+3），则Q（t，t﹣1），
∴PQ＝t2﹣2t+3﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+4＝（t﹣）2+，
当t＝时，PQ有最小值，最小值为，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”为，
当y＝0时，0＝x﹣1，x＝1，直线y＝x﹣1与x轴的交点是（1，0）；抛物线的顶点为（1，2）；
∴过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，
；
∴不同意他的看法；
2．当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．
【分析】
作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．求出直线的解析为，进一步可得出结论．
【详解】
如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．由对称知，，
此时四边形的周长为．
此时四边形的周长最小，最小值为．
，，
抛物线对称轴为直线．
．
为的中点，．
．
设直线的解析式为．
将点、的坐标代入可得解得
直线的解析为．
令，则，点的坐标为．
令，则，点的坐标为．
当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．
【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．
3．（1）；对称轴是x=3；（2） .
【分析】
（1）由抛物线与x轴的交点坐标可设两点式，再代入点A即可求出解析式；
（2）找到点A关于对称轴的对称点A'的坐标，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,再根据B、A'两点的坐标求出其直线解析式，再由P点横坐标为3即可求出P点坐标.
【详解】
解:(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可设两点式,
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4),
求得a=,
∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-,
∴对称轴是x=3.
(2)
如图1,点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,
设直线BA'的解析式为y=kx+b,
把A'(6,4),B(1,0)代入得解得,
∴y=x-.
∵点P的横坐标为3,
∴y=×3-=.
∴P(3,).
4．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）．
【分析】
（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标．
（2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解．
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标．
【详解】
解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，
∴点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝＝．
（3）存在，Q（﹣，0），如图
作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，
∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得，
，
解得，
∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，
令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，0）．
5．（1）y=+2x+3；（2）存在，Q(1，2)
【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
【详解】
解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代y=-x2+bx+c中得
，解得： ．
∴抛物线解析式为：y=+2x+3；
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称，
∴直线BC与x=1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=+2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
设直线BC解析式为y=kx+b
将C（0，3），B（3，0）代入可得
解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
Q点坐标即为 ，解得 ，
∴Q（1，2）
6．存在，
【分析】
作点M关于函数对称轴的对称点（10，6），连接C交函数对称轴于点P，则点P为所求，即可求解．
【详解】
解：如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，点即为所求，
设与轴交于点.
∵点，点关于抛物线对称轴对称，
∴
∴.
∴此时的值最小.
将，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为.
∴，抛物线的对称轴为直线.
∴，
∴，.
∴，
即的最小值为.
7．（1）抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）①的最大面积为8，点M的坐标为（﹣1，﹣4）；②线段PM长度的最大值为．
【分析】
（1）直接将C点坐标代入函数关系式，进而得出k的值即可；
（2）如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法可求出直线AC的解析式，进一步即可求出点P的坐标；
（3）①表示出M点坐标，进而表示出△AMB的面积，然后利用二次函数的性质即可得出答案；
②表示出M点、P点的坐标，进而表示出PM的长，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝（x+1）2+k 与y轴交于点C（0，﹣3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且﹣3＝（0+1）2+k，解得：k＝﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，
当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A（﹣3，0）、B（1，0），
如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝ax+d，
将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：，解得： ．
故直线AC：y＝﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）∵点M是抛物线上的一动点，∴设点M的坐标为[x，（x+1）2﹣4]，
∵点M在第三象限，∴﹣3＜x＜0；
①如图，∵AB＝4，
∴S△AMB＝×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB＝8﹣2（x+1）2，
∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
故设点P的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（ x+）2+，
当x＝﹣时，PM最大，最大值为．
8．（1）抛物线的顶点坐标是(1，0)；（2）y=x2－2x；（3）点M坐标为(1，2)．
【分析】
（1）把(2，1)代入中求出c的值得到抛物线解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）先确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A(0，0)，B(2，0)，然后利用交点式可写出新抛物线的表达式；
（3）根据对称性及两点之间线段最短找出点M，再求出BC所在直线表达式即可求出坐标．
【详解】
解：（1）把(2,1)代入得4－4+c=1，解得：c=1，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点坐标是(1，0)；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴新抛物线的对称轴为直线x=1，
又∵新抛物线与x轴交于A、B两点，且AB=2，
∴A(0，0)，B(2，0)，
∵抛物线沿y轴向下平移后得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为y= (x－0)(x－2)，即y=x2－2x；
（3）∵A、B关于对称轴对称，且点M是对称轴上的一点，
∴MA=MB，
∴AM+CM=BM+CM，
连接BC，交对称轴于点M，如图所示，
根据两点之间线段最短可知，此时BM+CM的值最小，即AM+CM的值最小，
∵C(－2，8)，B(2，0)，
∴BC所在直线表达式为：，
将x=1代入得：y=2，
∴点M坐标为(1，2)．
9．（1）；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3）．
【分析】
（1）令y=0时进行求解即可；
（2）根据（1）及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，然后求解直线的解析式即可．
【详解】
解：（1）当y=0时，，
，
；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
，
AB=5，
，
，
，
，
，
△ABC是直角三角形；
（3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，如图所示：
，
，
顶点的坐标为，
设直线的解析式为，则有：
，
，
，
当y=0时，，则，
．
10．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）把点P(−，)代入y=−+bx+2即可求解；
（2）连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即为的长，求得直线的函数表达式，即可求解；
（3）利用两点之间的距离公式结合勾股定理的逆定理得到关于的一元二次方程，根据，求解即可．
【详解】
解：（1）∵点P(−，)在抛物线上，
∴，解得：．
∴抛物线的函数表达式为：；
（2），
∴抛物线的对称轴为．
由，得，，
∴，．
由，得，
∴C(0，2)，
∵，两点关于对称轴对称，
∴连接，交对称轴于点，连接，
此时取得最小值，即为的长．
设直线的函数表达式为，
∴，解得．
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
（3）∵M(m，0)，N(0，n)，P(−，)，∠PMN=90°，且满足：，，
∴，，，
∵，
∴，
整理得关于的一元二次方程：，
∵符合条件的点的个数有2个，
∴，
即，解得：，
的取值范围为．
11．（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4
【分析】
（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【详解】
（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴OC=1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，
∴a=﹣，
∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴PQ=PG，
∴1+﹣（1﹣）=m，
解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，
∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，
当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN=3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK=n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK=3EN，
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
12．（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)
【分析】
（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；
（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，
∵点A（﹣2，0），点B（8，0），
∴对称轴为直线x＝3，
∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，
∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，
∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，
设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，
∴0＝8k﹣8，
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，
当x＝3，y＝﹣5，
∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，
∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），
∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，
如图，
∵△ACE与△ACD面积相等，
∴DE∥AC，
∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，
∴﹣5＝﹣4×3+n，
∴n＝7，
∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．
13．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t=时，PM有最大值，最大值为；（3）（0，1）或（，）或（，）．
【分析】
（1）运用待定系数法即可解决；
（2）依题意得P（t，﹣t2+2t+3），表示M点坐标，再求出PM长的函数表达式，依据二次函数性质求最值；
（3）运用配方法求顶点D坐标，由以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，且EF∥BD，可得EF＝BD，设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，建立方程求解即可求得符合题意的点E坐标．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得，，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0），C（2，3）代入得，
，
解得，，
直线AC的解析式为y=x+1，
依题意得，P（t，﹣t2+2t+3），M(t,t+1),
PM=﹣t2+2t+3-(t+1)= ﹣t2+t+2=-(t-)2+,
当t=时，PM有最大值，最大值为；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4），把x=1代入y=x+1得，y=2，
∴B（1，2），BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∵EF∥BD，
∴当EF＝BD时，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
∴＝2，
当时，
解得：m1＝0，m2＝1（舍去），
当时，
解得m3＝，m4＝；
∴点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
14．（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点的坐标为，
【分析】
（1）（1） 将、坐标代入即可；
（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；
【详解】
解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2），
，抛物线的对称轴为；
长度不变，
最小时，的周长最小，
、是关于抛物线对称轴对称的，
当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如图，
，
解得：，
，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）存在，
如图，设过点与直线平行线的直线为，
联立，
消掉得，，
，
解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，
点的坐标为，，
设过点的直线与轴交点为，则，，
，
直线的解析式为，
，
点到的距离为，
又，
的最大面积．
15．（1）；（2）（1，﹣2）；（3）（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，根据抛物线的对称性，连接BC交l于点P，此时PA+PC最小为BC的长，由点B、C坐标求出直线BC的函数解析式，利用二次函数的性质和一次函数图像上的点的坐标特征即可求得点P坐标；
（3）设点M（1，m），分AM=AC、AM=MC、AC=MC三种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）将点代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，
连接BC交l于点P，此时PA+PC取得最小值，如图，
设直线AB的函数解析式为y=kx+t（k≠0），
将代入，
得：，解得：，
∴直线BC的函数解析式为y=x﹣3，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，即点P的横坐标为1，
将x=1代入y=x﹣3中，得：y=1﹣3=﹣2，
∴点P坐标为（1，﹣2）；
（3）设点M(1，m)，则，，
，
分三种情况讨论：
①当AM=AC时，有=10，
解得：，
∴点M的坐标为（1，﹣）或（1，）；
②当AM=MC时，有=，
解得：m=﹣1，
∴点M的坐标为（1，﹣1）；
③当AC=MC时，有10=，
解得：，
∴点M的坐标为（1，0）或（1，﹣6），
设直线AC的函数解析式为y=px+q，
将代入，
得：，解得：，
∴直线AC的函数解析式为y=﹣3x﹣3，
∵当x=1时，y=﹣3﹣3=﹣6，
∴点M（1，﹣6）在直线AC上，即点A、C、M不能组成三角形，
故满足题意的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）．
专题22.3.3 二次函数压轴题-周长问题 同步练习
1.规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”，
（1）求抛物线与x轴的“亲近距离”；
（2）在探究问题：求抛物线与直线y=x−1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗?请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．
3．如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
4．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；
（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点，点是抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标；
②过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
8．抛物线经过点
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线沿轴向下平移后，所得新抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），若，求新抛物线的解析式；
（3）已知点是（2）中新抛物线上的一点，点是该抛物线对称轴上的一点，求使的值最小时点的坐标．
9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点
（1）求A点和点B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标．
10． 如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点是抛物线对称轴上一点，当取得最小值时，求点的坐标．
（3）当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，直接写出的取值范围．
11．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为 ；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
14． 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
参考答案
1．（1）2；（2）不同意他的看法；理由见解析
【分析】（1）把y＝x2﹣2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；
（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，设P（t，t2﹣2t+3），则Q（t，t﹣1），则PQ＝t2﹣2t+3﹣（t﹣1），然后利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”，然后对他的看法进行判断；
【详解】
解：（1）抛物线化为顶点式为：y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”为2；
（2）不同意他的看法．理由如下：
如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，
设P（t，t2﹣2t+3），则Q（t，t﹣1），
∴PQ＝t2﹣2t+3﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+4＝（t﹣）2+，
当t＝时，PQ有最小值，最小值为，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”为，
当y＝0时，0＝x﹣1，x＝1，直线y＝x﹣1与x轴的交点是（1，0）；抛物线的顶点为（1，2）；
∴过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，
；
∴不同意他的看法；
2．当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．
【分析】
作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．求出直线的解析为，进一步可得出结论．
【详解】
如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点．由对称知，，
此时四边形的周长为．
此时四边形的周长最小，最小值为．
，，
抛物线对称轴为直线．
．
为的中点，．
．
设直线的解析式为．
将点、的坐标代入可得解得
直线的解析为．
令，则，点的坐标为．
令，则，点的坐标为．
当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为．
【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．
3．（1）；对称轴是x=3；（2） .
【分析】
（1）由抛物线与x轴的交点坐标可设两点式，再代入点A即可求出解析式；
（2）找到点A关于对称轴的对称点A'的坐标，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,再根据B、A'两点的坐标求出其直线解析式，再由P点横坐标为3即可求出P点坐标.
【详解】
解:(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可设两点式,
设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4),
求得a=,
∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-,
∴对称轴是x=3.
(2)
如图1,点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4),连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,
设直线BA'的解析式为y=kx+b,
把A'(6,4),B(1,0)代入得解得,
∴y=x-.
∵点P的横坐标为3,
∴y=×3-=.
∴P(3,).
4．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）．
【分析】
（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标．
（2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解．
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标．
【详解】
解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，
∴点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝＝．
（3）存在，Q（﹣，0），如图
作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，
∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得，
，
解得，
∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，
令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，0）．
5．（1）y=+2x+3；（2）存在，Q(1，2)
【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
【详解】
解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代y=-x2+bx+c中得
，解得： ．
∴抛物线解析式为：y=+2x+3；
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称，
∴直线BC与x=1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=+2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
设直线BC解析式为y=kx+b
将C（0，3），B（3，0）代入可得
解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
Q点坐标即为 ，解得 ，
∴Q（1，2）
6．存在，
【分析】
作点M关于函数对称轴的对称点（10，6），连接C交函数对称轴于点P，则点P为所求，即可求解．
【详解】
解：如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，点即为所求，
设与轴交于点.
∵点，点关于抛物线对称轴对称，
∴
∴.
∴此时的值最小.
将，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为.
∴，抛物线的对称轴为直线.
∴，
∴，.
∴，
即的最小值为.
7．（1）抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）①的最大面积为8，点M的坐标为（﹣1，﹣4）；②线段PM长度的最大值为．
【分析】
（1）直接将C点坐标代入函数关系式，进而得出k的值即可；
（2）如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法可求出直线AC的解析式，进一步即可求出点P的坐标；
（3）①表示出M点坐标，进而表示出△AMB的面积，然后利用二次函数的性质即可得出答案；
②表示出M点、P点的坐标，进而表示出PM的长，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝（x+1）2+k 与y轴交于点C（0，﹣3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且﹣3＝（0+1）2+k，解得：k＝﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，
当y＝0，则0＝（x+1）2﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A（﹣3，0）、B（1，0），
如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝ax+d，
将（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：，解得： ．
故直线AC：y＝﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）∵点M是抛物线上的一动点，∴设点M的坐标为[x，（x+1）2﹣4]，
∵点M在第三象限，∴﹣3＜x＜0；
①如图，∵AB＝4，
∴S△AMB＝×4×|（x+1）2﹣4|＝2|（x+1）2﹣4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB＝8﹣2（x+1）2，
∴当x＝﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
故设点P的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PM＝﹣x﹣3﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣3x＝﹣（ x+）2+，
当x＝﹣时，PM最大，最大值为．
8．（1）抛物线的顶点坐标是(1，0)；（2）y=x2－2x；（3）点M坐标为(1，2)．
【分析】
（1）把(2，1)代入中求出c的值得到抛物线解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）先确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A(0，0)，B(2，0)，然后利用交点式可写出新抛物线的表达式；
（3）根据对称性及两点之间线段最短找出点M，再求出BC所在直线表达式即可求出坐标．
【详解】
解：（1）把(2,1)代入得4－4+c=1，解得：c=1，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点坐标是(1，0)；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴新抛物线的对称轴为直线x=1，
又∵新抛物线与x轴交于A、B两点，且AB=2，
∴A(0，0)，B(2，0)，
∵抛物线沿y轴向下平移后得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为y= (x－0)(x－2)，即y=x2－2x；
（3）∵A、B关于对称轴对称，且点M是对称轴上的一点，
∴MA=MB，
∴AM+CM=BM+CM，
连接BC，交对称轴于点M，如图所示，
根据两点之间线段最短可知，此时BM+CM的值最小，即AM+CM的值最小，
∵C(－2，8)，B(2，0)，
∴BC所在直线表达式为：，
将x=1代入得：y=2，
∴点M坐标为(1，2)．
9．（1）；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3）．
【分析】
（1）令y=0时进行求解即可；
（2）根据（1）及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，然后求解直线的解析式即可．
【详解】
解：（1）当y=0时，，
，
；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
，
AB=5，
，
，
，
，
，
△ABC是直角三角形；
（3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，如图所示：
，
，
顶点的坐标为，
设直线的解析式为，则有：
，
，
，
当y=0时，，则，
．
10．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）把点P(−，)代入y=−+bx+2即可求解；
（2）连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即为的长，求得直线的函数表达式，即可求解；
（3）利用两点之间的距离公式结合勾股定理的逆定理得到关于的一元二次方程，根据，求解即可．
【详解】
解：（1）∵点P(−，)在抛物线上，
∴，解得：．
∴抛物线的函数表达式为：；
（2），
∴抛物线的对称轴为．
由，得，，
∴，．
由，得，
∴C(0，2)，
∵，两点关于对称轴对称，
∴连接，交对称轴于点，连接，
此时取得最小值，即为的长．
设直线的函数表达式为，
∴，解得．
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
（3）∵M(m，0)，N(0，n)，P(−，)，∠PMN=90°，且满足：，，
∴，，，
∵，
∴，
整理得关于的一元二次方程：，
∵符合条件的点的个数有2个，
∴，
即，解得：，
的取值范围为．
11．（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4
【分析】
（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【详解】
（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴OC=1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，
∴a=﹣，
∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴PQ=PG，
∴1+﹣（1﹣）=m，
解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，
∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，
当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN=3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK=n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK=3EN，
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
12．（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)
【分析】
（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；
（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，
∵点A（﹣2，0），点B（8，0），
∴对称轴为直线x＝3，
∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，
∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，
∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，
设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，
∴0＝8k﹣8，
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，
当x＝3，y＝﹣5，
∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，
∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），
∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，
如图，
∵△ACE与△ACD面积相等，
∴DE∥AC，
∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，
∴﹣5＝﹣4×3+n，
∴n＝7，
∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．
13．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t=时，PM有最大值，最大值为；（3）（0，1）或（，）或（，）．
【分析】
（1）运用待定系数法即可解决；
（2）依题意得P（t，﹣t2+2t+3），表示M点坐标，再求出PM长的函数表达式，依据二次函数性质求最值；
（3）运用配方法求顶点D坐标，由以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，且EF∥BD，可得EF＝BD，设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，建立方程求解即可求得符合题意的点E坐标．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得，，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣1，0），C（2，3）代入得，
，
解得，，
直线AC的解析式为y=x+1，
依题意得，P（t，﹣t2+2t+3），M(t,t+1),
PM=﹣t2+2t+3-(t+1)= ﹣t2+t+2=-(t-)2+,
当t=时，PM有最大值，最大值为；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4），把x=1代入y=x+1得，y=2，
∴B（1，2），BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∵EF∥BD，
∴当EF＝BD时，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
∴＝2，
当时，
解得：m1＝0，m2＝1（舍去），
当时，
解得m3＝，m4＝；
∴点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
14．（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点的坐标为，
【分析】
（1）（1） 将、坐标代入即可；
（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；
【详解】
解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2），
，抛物线的对称轴为；
长度不变，
最小时，的周长最小，
、是关于抛物线对称轴对称的，
当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如图，
，
解得：，
，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）存在，
如图，设过点与直线平行线的直线为，
联立，
消掉得，，
，
解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，
点的坐标为，，
设过点的直线与轴交点为，则，，
，
直线的解析式为，
，
点到的距离为，
又，
的最大面积．
15．（1）；（2）（1，﹣2）；（3）（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，根据抛物线的对称性，连接BC交l于点P，此时PA+PC最小为BC的长，由点B、C坐标求出直线BC的函数解析式，利用二次函数的性质和一次函数图像上的点的坐标特征即可求得点P坐标；
（3）设点M（1，m），分AM=AC、AM=MC、AC=MC三种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）将点代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，
连接BC交l于点P，此时PA+PC取得最小值，如图，
设直线AB的函数解析式为y=kx+t（k≠0），
将代入，
得：，解得：，
∴直线BC的函数解析式为y=x﹣3，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，即点P的横坐标为1，
将x=1代入y=x﹣3中，得：y=1﹣3=﹣2，
∴点P坐标为（1，﹣2）；
（3）设点M(1，m)，则，，
，
分三种情况讨论：
①当AM=AC时，有=10，
解得：，
∴点M的坐标为（1，﹣）或（1，）；
②当AM=MC时，有=，
解得：m=﹣1，
∴点M的坐标为（1，﹣1）；
③当AC=MC时，有10=，
解得：，
∴点M的坐标为（1，0）或（1，﹣6），
设直线AC的函数解析式为y=px+q，
将代入，
得：，解得：，
∴直线AC的函数解析式为y=﹣3x﹣3，
∵当x=1时，y=﹣3﹣3=﹣6，
∴点M（1，﹣6）在直线AC上，即点A、C、M不能组成三角形，
故满足题意的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）．
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