初中数学第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数课时练习

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专题22.3.9二次函数背景下矩形、菱形、正方形存在性问题
同步练习
1．如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．



2．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3． 如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．


4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A(2，5)，B(0，2)，C(4，2)．
（1）求这个二次函数关系式；
（2）若在平面直角坐标系中存在一点D，使得四边形ABDC是菱形，请直接写出图象过B、C、D三点的二次函数的关系式；

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且．
（1）求的值；
（2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．


6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．


7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．


10．二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过两点可以画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式；
（3）点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的横坐标为1，点是坐标平面上一点，点在轴上，是否存在以四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．


11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左则，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
求这个二次函数的表达式；
求出四边形的面积最大时的点坐标和四边形的最大面积；
连结、，在同一平面内把沿轴翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
在直线找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点坐标．


12．如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　 　个．



14．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．
（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．





15．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．






16．如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．


17．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．


18．如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点（其中，），使，求点的坐标；
（4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．




参考答案
1．（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．
【分析】
（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于：当x=0时，；
当y=0时，，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，）
把A（3，0），B（0，）代入得：

解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，

∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1，）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，

∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，

同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）

2．（1）；（2）①，②存在，
【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得 ∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得 ∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴

．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，

∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，

则有
整理得，
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为

3．（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b=，c=；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0 ∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，
∵-1<0，
∴当时，PQ有最大值，最大值为；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q在点P上方时，

∴PQ=，即，
∴，解得或，
当时，点P与点O重合，菱形不存在，
当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；
当点Q在点P下方时，若点Q在第三象限，如图，

∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，
此时OA=1OC=3，菱形不存在，
若点Q在第一象限，如图，

同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．

4．解：（1）y＝－x2＋3x＋2；（2）y＝x2－3x＋2
【分析】（1）分别把，，代入，利用待定系数法可得，，从而得出这个二次函数关系式；
（2）先求出点的坐标，再把、、三点的坐标代入，即可求出二次函数的关系式．
【详解】
解：（1）分别把，，代入，
得解得，
故这个二次函数的解析式为：；
（2）点、、的坐标分别是，，．
当四边形是菱形时，点的坐标是，
设二次函数的解析式为：，
把、、三点的坐标代入得：
解得：
所以图象过、、三点的二次函数的关系式： ．

5．（1），；（2）D；（3）存在，，这个菱形不是正方形．
【分析】（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形．
【详解】解:（1）抛物线经过点

又由题意可知，是方程的两个根，
，
由已知得
又


解得，当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
；
（2）∵四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上，
又
拋物线的顶点即为所求的点；
（3）∵四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为
根据菱形的性质，
点必是直线与抛物线的交点，
当时，
在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形．
四边形不能成为正方形，
因为如果四边形为正方形，．点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上.

6．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣，）；（3）P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解该方程即可确定P点坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）∵C点坐标为（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，
∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如图1，

设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE＝CE＝，
令﹣x2﹣2x+3＝，
解得，x1＝﹣，x2＝（不合题意，舍去）．
∴P点的坐标为（﹣，）．
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
则Q点的坐标为（x，x+3），
当0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，
S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OF+QP•AF
＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，四边形ABCP的面积最大，
此时P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．

7．（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；.
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得.
∴二次函数的解析式为.
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；.
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；.
连接PP′，则PE⊥CO于E，
.
∵C（0，-3），.
∴CO=3，.
又∵OE=EC，.
∴OE=EC=.
∴y=−；.
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）.
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），

设直线BC的解析式为：y=kx+d，.
则，.解得： .
∴直线BC的解析式为y=x-3，.
则Q点的坐标为（x，x-3）；.
当0=x2-2x-3，.
解得：x1=-1，x2=3，.
∴AO=1，AB=4，.
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ.
=AB•OC+QP•BF+QP•OF.
=×4×3+ (−x2+3x)×3.
=− (x−)2+.
当x＝时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．

8．（1）y＝x2﹣2x﹣3，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P（1+，﹣）；（3）故S有最大值为，此时点P（，﹣）．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；
（2）四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得到直线BC的表达式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），再根据ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP即可求解．
【详解】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
再将点C（0，﹣3）代入得到c=-3，
,∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）存在，理由：如图1，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，

即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，解得：x＝1（舍去负值），
故点P（1+，﹣）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，
由点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），

ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP
＝×AB×OC+×PH×OB
＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）
＝﹣x2+x+6，
=
∵-＜0，
∴当x=时，S有最大值为，此时点P（，﹣）．

9．（1）y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，点P
【分析】（1）设一次函数解析式为：y=mx+n，把B、C点坐标分别代入一次函数解析式和二次函数解析式即可解出．
（2）若四边形是菱形，和OC相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得．
【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为：y＝mx+n，有：
，
解得：m＝1，n＝﹣3；
∴直线BC：y＝x﹣3．
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c中，得：
，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3；
∴抛物线：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为﹣，代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得：
﹣＝x2﹣2x﹣3，
解得 x1＝ ，x2＝ （舍去）
∴点P

10．（1）；（2）或；（3）(1，0)或(-2，0)
【分析】（1）设二次函数，根据待定系数法，求出a的值，即可得到答案；
（2）设二次函数解析式为：，先得出Q(2，2)或Q(2，-2)，进而即可求解；
（3）先求出点G(1，3)，再分两种情况：①当GE为为正方形的对角线时，②当GE是正方形的边时，分别求解，即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象的顶点的坐标为，
∴设二次函数，
把(0，0)代入上式，得：，解得：a=-1，
∴二次函数的表达式为：；
（2）∵抛物线过两点，
∴对称轴为：直线x=2，可设二次函数解析式为：，
∴OM=2，
又∵四边形OMQN是正方形，
∴QM=OM=2，
∴Q(2，2)或Q(2，-2)，
∴或，解得：或，
∴二次函数解析式为：或；

（3）由（1）可知二次函数的解析式为：，
∴当x=1时，y=3，即：G(1，3)，
当GE为为正方形的对角线时，GR1=ER1=3，
此时，R1(1，0) ，
当GE是正方形的边时，GR2=GE=，
∴R2E=×=6，
∴R2(-2，0)，
∴R的坐标为(1，0)或(-2，0)．


11．（1）；（2）当时，四边形的面积取最大值，最大值为；（3）存在点，使四边形为菱形；（4）点坐标为、、或．
【分析】（1）直接代入B、C两点坐标即可求解解析式；
（2）过作轴，交于，设，求解直线BC解析式为，则可得，观察图形，利用即可求解；
（3）取的中点，过作的垂线交抛物线于，在的延长线上取，连接、，所得四边形即为菱形；
（4）设点的坐标为，则利用已知点C和O，写出用m表示的OC、PC、PO的表达式，再分别按、和三种情况进行讨论，分别求解m的值即可.
【详解】解：将点、代入中，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为．
∵点，点，
∴直线．

过作轴，交于，如图所示．
设，则点，
当时，，
解得：，，
∴点．
则，
，
，
，

∵，，
∴当时，四边形的面积取最大值，最大值为．
取的中点，过作的垂线交抛物线于，在的延长线上取，连接、，如图所示．
∵，，，
∴四边形为菱形．
当，则有，
解得：（舍去），，
∴存在点，使四边形为菱形．
设点的坐标为，
∵，，
∴，，．
为等腰三角形分三种情况：
①当时，，
解得：，
此时点的坐标为或；
②当时，，
解得：或（舍去），
此时点的坐标为；
③当时，有，
解得：，
此时点的坐标为．
综上可知：点坐标为、、或．

12．（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．
【分析】（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；
（3）因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3时对应的点即可；
（4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．
【详解】
解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：
-9+6+m=0，∴m=3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x2+2x+3=0，
x2-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
∴x=-1或3，
∴B（-1，0）；
（3）∵S△ABD=S△ABC，
当y=3时，-x2+2x+3=3，
-x2+2x=0，
x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，

∵AO=OC=3，故∠PAB=45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，-2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．

13．（1），抛物线的顶点坐标为（）；（2）最小值为；（3）5个
【分析】
(1)将A、C三点的坐标代入y=ax2+bx﹣，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；
(2)连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM．由M点的个数则可得出点N的个数有5个．
【详解】
(1)∵二次函数的图象经过点A(﹣1，0)C(2，0)，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为，
∵y=，
∴抛物线的顶点坐标为()；
(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，
，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短(垂线段最短);
∵抛物线的顶点坐标为()，
∴，
∵∠ABO=30°，
∴∠HAD=60°，
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为；
(3)①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；
②以B为圆心AB为半径画弧，因为，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；
则满足条件的N点共有5个，
故答案为：5．

14．（1）点H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值为9；（2）（，﹣）或（﹣，）；
【分析】
（1）过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12，过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，即可求解；
（2）分B′K为菱形的一条边、B′K为菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6），
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
设点P（x，﹣x2+x+6），则点E（x，﹣x+6），
PE﹣2EF＝yP﹣3yE＝﹣x2+x+6﹣3（﹣x+6）＝﹣x2+3x﹣12，
当x＝9时，PE﹣2EF有最大值，此时，点P（9，6），
即点C是点P关于函数对称轴的对称点，
过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12…①，
过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，

BH＝BN，PM+MN+NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即为最小值，
同理直线CH的表达式为：y＝﹣x+6…②，
当y＝0时，x＝6，故点N（6，0），
联立①②并解得：x＝9，故点H（9，﹣3），
PM+MN+NB的和最小值＝CH＝ ＝9；
（2）存在，理由：
y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
点P（9，6），则点P′（9，﹣6），
则直线BP′表达式中的k值为：2，
设抛物线向左平移m个单位，则向下平移2m个单位，
则y′＝﹣（x﹣+m）2++2m，
将点A的坐标代入上式并解得：m＝3，
则y′＝﹣x2+x+3，令y′＝0，则x＝﹣3或6，故点N（6，0），
函数的对称轴为：x＝，
同理可得：直线CN的表达式为：y＝﹣x+6，直线BB′的表达式为：y＝x﹣12，
联立上述两式并解得：x＝9，
即交点坐标为：（9，﹣3），该点是点B（12，0）和点B′的中点，
由中点公式可得：点B′（6，﹣6），
同理可得：直线CB′的表达式为：y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点K（3，0），
设点S（m，n），点R（，s），而点B′、K的坐标分别为：（12，0）、（3，0）；
①当B′K为菱形的一条边时，
点K向右平移3个单位向下平移6个单位得到B′，
同样，点R（S）向右平移3个单位向下平移6个单位得到S（R），
即+3＝m，s﹣6＝n或﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，
解得：m＝或﹣，n＝﹣或，
即点S的坐标为：（，﹣）或（﹣，）；
②当B′K为菱形的一条对角线时，
由中点公式得：6+3＝m+，s﹣6＝n，且KR＝B′R，
即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，
解得：m＝，故点P（，﹣）．

15．（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为：或或．
【解析】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【详解】（1）二次函数表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得：，
故函数表达式为：…①；
（2）设点M的坐标为，则点，
则，，
矩形MNHG的周长，
∵，故当，C有最大值，最大值为10，
此时，点与点D重合；
（3）的面积是矩形MNHG面积的，
则，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即，
过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：，
，∴，，
设点，则点，
，
解得：，
则，
解得：，
故点，
直线n的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
即点、的坐标分别为、；
故点P坐标为：或或．

16．（1）（2）p=－x2－4x+4，其中－2＜x＜2（3）不存在，证明见解析；
【分析】
（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m=，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2；
（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴D、C点关于y轴分别与A、B对称．
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2（﹣x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴x＜2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞﹣2．
∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．
（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=﹣（x+2）2+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．

17．（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（，）或（，）或（，）
【分析】
（1）将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点B代入即可求出抛物线的解析式；
（2）由四边形MNHG为矩形知MN∥x轴，MG∥y轴，故可设出点M坐标，则矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函数性质即可求解；
（3）由（2）中知，D与N重合，由已知先求出S△PNC值，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，设出点P坐标，通过推导计算，即可求解出点P的坐标.
【详解】
（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x＝＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，
则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH××3，
解得：PH＝＝HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，
故点P（，），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝，
即点P′、P″的坐标分别为(，）、（，）；
故点P坐标为：（，）或（，）或（，）.


18．（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为（2，3）；（4）存在，，
【分析】
（1）直接将A的坐标代入二次函数解析式可求出m，从而得到二次函数的解析式；
（2）令y=0，解方程得B点坐标；
（3）由，同底等高的两个三角形面积相等，所以只要△ABD的AB边上的高与OC相等即可，则由抛物线的对称性可得D的坐标；
（4）分AB是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可．
【详解】
解：（1）将（3,0）代入二次函数解析式，
得．
解得，．
（2）二次函数解析式为，
令，得．
解得或．∴点的坐标为．
（3）∵，点在第一象限，
∴点、关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为（0,3），
∴点的坐标为（2，3）．
（4）在中，令x=0，得y=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为：，则，，解得，
∴直线AC的解析式为：，
如图，

若AB为矩形的对角线，

∴，，矩形是正方形
由，及，PQ平分AB， 得，，
若AB为矩形的边，
同理可得，矩形是正方形，
由，，得，，
综上所述，存在，，使能构成矩形．