初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数同步练习题

22.3.2二次函数 拱桥问题和运动中的抛物线 同步练习

一．解答题（共10题）。

1．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？

2．抛物线形桥拱的跨度为米，拱高为米，求桥拱的函数关系式．

3．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20，水位上升3就达到警戒线，这时水面宽度为10.

（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.

（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2的速度上升）

4．某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；

（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）

（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？

5．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式．

6．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.

(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；

(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由

7．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．

（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．

（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？

8．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)．

9.如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？

10.如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？

二．填空题（共11题）。

11.（2020九上·瑶海月考）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示， 

下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s．其中正确的是________。

12.（2020九上·淮北月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y米与小球运动的时间x秒之间的关系式为 若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是 ________。

13.（2020·绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为 ________米。

14.（2020九上·鹿城月考）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y =－ x2 + 8（单位:米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE:EF = 3:2，则脚手架高DE为 ________米。

15.（2020九上·瑶海月考）如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h=20t-5t2  ， 则小球从飞出到落地所用时间为________s 

16.（2020九上·鹿城月考）如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据:水柱上的点C，D到地面的距离都是1.6米，即BC = OD = 1.6米，AB = 1米，AO = 5米，则水柱的最大高________米.

17.（2020九上·洪山月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m，水面宽度增加________m. 

18．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．

19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．

20．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为________m．

21．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________．

一．解答题（共10题）。

1．【答案】

【解析】建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).

∵图象经过点（2，-2），

 ∴-2=4a，

解得：.

∴.

当y=-3时，.

答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.

2．【答案】（答案不唯一）．

【解析】以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，

∵AB=6

∴AO=3

∴点A的坐标为（-3,0）

可设所求解析式为，

由抛物线过和得：  解得：

∴抛物线解析式为（答案不唯一）．

3．【答案】（1）；（2）再持续5到达拱桥顶.

【解析】（1）设所求抛物线的解析式为.

设，则，

把、的坐标分别代入，

得解得

∴.

（2）∵，

∴

∴拱桥顶到的距离为1，.

故再持续5到达拱桥顶.

4．【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元

【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；

（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；

（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．

【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）

代入到

得

解得

∴抛物线的函数表达式为；

（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=

∴N（1，）

∴MN=m，

∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，

则一扇窗户的价格为×50=75元

因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；

（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,

∵一个月最多生产160个，

∴100+20×≤160

解得n≥620

∵-2＜0

∴n≥620时，w随n的增大而减小

∴当n=620时，w最大=19200元．

5．【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）利用现以O点为原点，抛物线最大高度为6米，底部宽度OM为12米，得出点M及抛物线顶点P的坐标即可；
（2）利用顶点式将P点M点代入求出抛物线解析式即可．

【详解】（1）∵其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，
∴点M及抛物线顶点P的坐标分别为：M（12，0），P（6，6）．
（2）设抛物线解析式为：，
∵抛物线经过点（0，0），
∴，即，
∴抛物线解析式为：，即．

6．【答案】（1）；（2）不能通过.

【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解；

（2）车从中间过，即x＝1.5，代入解析式求出y值后，比较即可．

【详解】

(1)如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax2

抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，

所以抛物线过点A(−3,−3)，

代入得−3=9a，

解得a=−，

所以函数关系式为 

(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，

将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75，

此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5.

从而此车不能通过此隧道.

7．【答案】(1) y=﹣x2+8；（2）货运卡车能通过，理由见解析.

【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+6，再有条件求出a的值即可；

（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．

【详解】（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），

设抛物线的解析式为y=ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入

64a+8=6

解得：a=﹣．

抛物线的解析式为y=﹣x2+8．

（2）根据题意，把x=±4代入解析式，

得y=7.5m．

∵7.5m＞7m，

∴货运卡车能通过．

8．【答案】门的高度约为9.1m

【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长．

【详解】解：由题意得，抛物线过点、、，

设，

把代入，

得，

解得，

．

令得，即，

门的高度约为．

9.【答案】见解析。

【解析】（1）设抛物线的解析式为

y＝ax2+bx+c（a≠0），

∵对称轴为y轴，

∴y0，

∴b＝0，

∴y＝ax2+c，由题意得，抛物线过点（13，0），（12，1），

把 ，，

代入得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为yx2；

（2）由题意得，把x＝5代入yx2y，

∴点F的坐标为F（5，），

∴MH＝OM﹣OH1m，

∵1m＜1.5m，

∴此时水面超过警戒水位．

10.【答案】见解析。

【解析】（1）根据题意，顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4），

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，

把点B（0，4）代入得：36a+10＝4，

解得：a，即所求抛物线的解析式为：y（x﹣6）2+10，

（2）由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，

把y＝8代入y（x﹣6）2+10得：

（x﹣6）2+10＝8，

解得：x1＝6+2，x2＝6﹣2，

所求最小距离为：x1﹣x2＝4，

答：两排灯的水平距离最小是4米，

（3）根据题意，当x＝6.25+4＝10.25时，

y（10.25﹣6）2+106.5，

∴能安全通过隧道，

答：这辆特殊货车能安全通过隧道．

二．填空题（共11题）。

11. 【答案】②③

12【答案】第10秒                   

13. 【答案】   5 米      

14.  【答案】6米                                 

15.【答案】 4  

16.【答案】 2.88  

17.【答案】 2  

18．【答案】

19．【答案】

20．【答案】4

21．【答案】米