数学九年级上册3 正方形的性质与判定精品同步练习题

2021年北师大版数学九年级上册

1.3《正方形的性质与判定》同步练习卷

一、选择题

1.下列说法中，错误的是（      ）

   A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

   B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

   C．四个角都相等的四边形是矩形

   D．邻边相等的菱形是正方形

2.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(　 　)

A.当AB=BC时，它是菱形 

B.当AC⊥BD时，它是菱形

C.当∠ABC=90°时，它是矩形 

D.当AC=BD时，它是正方形

3.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形（如图）,现有下列四种选法,你认为其中错误的是（     ）

  A.①②                        B.②③                         C.①③                    D.②④

4.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=(  )

A.4cm                                          B.6cm                                          C.8cm                                          D.10cm

5.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（　　）

A.4cm                   B.8cm                    C.cm                    D.2cm

6.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有（     ）

  A.2对           B.3对           C.4对           D.5对

7.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（　　）

A.30             B.34           C.36          D.40

8.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

A.4个       B.6个           C.8个       D.10个

9.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　）

A.2           B.2       C.2         D.

10.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.

下列结论:①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+.

其中正确的个数为（    　）

A.1       B.2       C.3       D.4

二、填空题

11.在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为　   　.

12.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED度数为　　.

13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　　　　　.

14.如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为　　　　　　．

15.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为　　     ．

16.如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A 角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG=______cm．

三、解答题

17.如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．

求证：BF﹣DG=FG．

18.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N

（1）求证：AE=MN；

（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．

19.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF

的度数.

20.如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G．

（1）求证：CG=CE；

（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．

21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形.

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上.

(2)若AC=5，BC=12，求OE的长.

参考答案

1.D

2.D；

3.B

4.A

5.D

6.C

7.B

8.C

9.A

10.C；

11.答案为：2

12.答案为：150°.

13.答案为：45°.

14.答案为．

15.答案为：5．

16.答案为：4﹣6．

17.证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAB=90°，

∵BF⊥AE，DG⊥AE，

∴∠AFB=∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°，

∵∠DAG+∠BAF=90°，

∴∠ADG=∠BAF，

在△BAF和△ADG中，

∵，

∴△BAF≌△ADG(AAS)，

∴BF=AG，AF=DG，

∵AG=AF+FG，

∴BF=AG=DG+FG，

∴BF﹣DG=FG．

18.（1）证明：连接EC．

∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，

∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，

∴四边形EMCN为矩形．

∴MN=CE．

又∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中

∵，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE=EC．

∴AE=MN．

（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，

∵AE=2，∠DAE=30°，

∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，

∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．

19.解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，

∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，

同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；

即∠EAF=∠EAG＋∠FAG=∠DAG＋∠BAG=∠DAB=45°，

故∠EAF=45°.

20.解：

21.证明：(1)如图，过点O作OM⊥AB于点M.

∵四边形OECF是正方形，

∴OE=EC=CF=OF，OE⊥BC，OF⊥AC.

∵BD平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，

∴OM=OE，∴OM=OF.

∵OM⊥AB，OF⊥AC，

∴点O在∠BAC的平分线上.

(2)在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，AC=5，BC=12，

∴AB=13.

∵BE=BC－CE，AF=AC－CF，CE=CF=OE，

∴BE=12－OE，AF=5－OE.

易证BE=BM，AM=AF.

∵BM＋AM=AB，

∴BE＋AF=13，

∴(12－OE)＋(5－OE)=13，

解得OE=2.