初中数学冀教版九年级上册第26章 解直角三角形综合与测试课后练习题

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第26章解直角三角形》同步达标训练（附答案）

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）

A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH

3．在锐角三角形ABC中，若tanA＝3，那么cosA的值为（　　）

A． B． C． D．

4．△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）

A．75° B．90° C．105° D．120°

5．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（　　）

A．cotα B．tanα C．cosα D．sinα

6．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sinB•sadA＝（　　）

A． B．1 C． D．2

7．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线PA，PB固定，量得∠PAO＝α，∠PBO＝β，则拉线PA，PB的长度之比＝（　　）

A． B． 

C． D．

8．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度＝1：，AB＝6m，则BC的长是（　　）

A．m B．3m C．m D．6m

9．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（　　）

（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）

A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m

10．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（　　）

A． B． C． D．

11．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是　   　．

12．比较sin53°　 　tan37°的大小．

13．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：　            　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　     　．

15．已知∠A为锐角，且cosA＝，则∠A度数等于　   　度．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．

17．计算：2sin30°+cos60°﹣cos245°

18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．

19．计算：．

20．在△ABC中，AD是边BC上的高，点D在线段BC上，且有tan∠BAD+tan∠CAD＝，BC＝5，AC＝．

（Ⅰ）求线段AD的长；

（Ⅱ）求cosB×sinC；

（Ⅲ）求△ABC中AB上的中线长．

21．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长？

22．如图1，这是阳台电动升降晾衣架，它左侧的基本形状是菱形，通过调节菱形内角的大小，从而实现升降晾衣杆．图2是晾衣架左侧的示意图，已知菱形的边长为15cm当晾衣架伸展至长（即点O到直线 l2的距离）为105cm时，求∠OAP的大小．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，sin51.3°≈0.78，sin58.1°≈0.85）

23．良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图①．将图①中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C．已知AD＝30cm，BC＝12cm，点A到BD的距离

为23cm，∠B＝70°．（sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan70°≈2.75）

（1）求∠ADB的度数；

（2）老师发现小亮同学写字姿势不正确眼睛倾斜到图2的点E，点E恰好在CD的垂直平分线上，且∠BDE＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升的距离（结果精确到1cm）．

参考答案

1．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，

又∵cosA＝＝，

∴AB＝，

故选：B．

2．解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．

∵sinα＝，cosα＝，OP＞PM，

∴sinα＜cosα，

同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，

如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．

∵sinα＝，cosα＝，OJ＜MJ，

∴sinα＞cosα，

同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，

故选：D．

3．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵tanA＝3，

∴＝3，

设AD＝k，则CD＝3k，

在Rt△ACD中，AC＝＝k，

∴cosA＝＝＝，

故选：C．

4．解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，

∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，

∴sinA＝，＝cosB，

∴∠A＝45°，∠B＝30°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．

故选：C．

5．解：用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，

故选：A．

6．解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠A＝2∠B，

∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，

∴BC＝AC，

∴sin∠B•sadA＝•＝1，

故选：B．

7．解：如图，在直角△PAO中，∠POA＝90°，∠PAO＝α，则PA＝．

如图，在直角△PBO中，∠POB＝90°，∠PBO＝β，则PB＝．

所以＝＝．

故选：D．

8．解：Rt△ABC中，tan∠BAC＝斜坡AB的坡度＝1：＝，

∴∠BAC＝30°，

∵BC⊥AC，

∴BC＝AB＝3m，

故选：B．

9．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，

根据题意可知：

BA⊥AC，

∴四边形FAED是矩形，

∴FA＝DE，DF＝AE，

∵斜坡CD的长为6m，坡度i＝DE：CE＝1：0.75，

∴DE＝4.8，CE＝3.6，

∴DF＝AE＝AC+CE＝11.6，

在Rt△BFD中，∠BDF＝46°，

∴BF＝DF•tan46°≈11.6×1.04≈12.064，

∴BA＝BF+FA＝12.064+4.8≈16.9（m）．

所以教学楼的高度约为16.9米．

故选：C．

10．解：∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，

∴∠AOD＝90°，

∵AB∥x轴，

∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，

∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，

∵OB+OA+AB＝60km，

∵OB＝OA＝AB，

∴AB＝，

故选：B．

11．解：∵sinA＝，即＝，

∴AB＝10，

故答案为：10．

12．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，

∴sin53°＞tan37°．

故答案为＞

13．解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，

两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③

由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，

两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④

③+④得

a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2

∴a2+b2＝c2+d2．

故答案为：a2+b2＝c2+d2．

14．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，

∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，

∴sinα＝sinB，故①正确；

sinβ＝sinC，故②正确；

∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝，

∴sinB＝cosC，故③正确；

∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，

∴sinα＝cos∠β，故④正确；

故答案为①②③④．

15．解：∵cosA＝，

∴∠A＝30°，

故答案为30．

16．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴tanA＝＝．

∵BC＝2，

∴＝，AC＝6．

∵AB2＝AC2+BC2＝40，

∴AB＝．

17．解：2sin30°+cos60°﹣cos245°＝＝＝1

18．解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°

＝

＝

＝．

19．解：原式＝

＝

＝

＝3+2．

20．解：（Ⅰ）如图1所示：

∵AD是边BC上的高，

∴AD⊥BC，

∴tan∠BAD+tan∠CAD＝+＝＝，

∵BC＝5，

∴AD＝3；

（Ⅱ）∵AD⊥BC，AD＝3，AC＝．

∴sinC＝＝＝，CD＝＝＝1，

∴BD＝BC﹣CD＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵cosB＝＝，

∴cosB×sinC＝×＝；

（Ⅲ）CE为△ABC中AB上的中线，作CF⊥AB于F，如图2所示：

∵△ABC的面积＝AB×CF＝BC×AD，AB＝BC＝5，

∴CF＝AD＝3，AF＝＝1，

∵CE是△ABC中AB上的中线，

∴AE＝AB＝，

∴EF＝AE﹣AF＝，

∴CE＝＝＝，

即△ABC中AB上的中线长为．

21．解：过点C作CD⊥AB于D点，

在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝4，

∴CD＝AC＝×4＝2，

∴AD＝＝＝2，

在Rt△CDB中，∠B＝45°，CD＝2，

∴CD＝DB＝2，

∴AB＝AD+DB＝2+2．

22．解：如图，连接AB，OP交于M，

∵四边形APBO是菱形，

∴AB⊥OP，∠OAP＝2∠OAB，

由题意得，OM＝＝，AO＝15，

∴sin∠OAB＝＝≈0.78，

∴∠OAB＝51.3°，

∴∠OAP＝2∠OAB＝102.6°．

23．解：（1）如图，

过点A作AH⊥BD于点H，

则∠AHD＝∠AHB＝90°，

∵AD＝30cm，AH＝23cm，

∴在Rt△ADH中，

sin∠ADB＝≈0.767，

∴∠ADB≈50°．

答：∠ADB的度数约为50°；

（2）如图，过点E作EG⊥CD于点G，

过点A作AF⊥EG交GE的延长线于点F，

则四边形AFGH是矩形，

∴FG＝AH＝23cm，

由（1）得DH＝AD•cos50°≈30×0.64≈19.3（cm），

∵∠B＝70°，

∴BH＝＝≈8.4（cm），

∴BD＝BH+DH＝8.4+19.3≈27.7（cm），

∵BC＝12cm，

∴CD＝BD﹣BC＝27.7﹣12≈15.7（cm），

∵点E恰好在CD的垂直平分线上，

∴DG＝CD≈7.8（cm），

∵∠GDE＝60°，

∴EG＝DG•tan60°≈13.6（cm），

∴EF＝FG﹣EG≈23﹣13.6≈9（cm）．

答：眼睛所在的位置应上升的距离约为9cm．