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2021年福建省漳州市漳浦县中考数学一检试卷 解析版
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这是一份2021年福建省漳州市漳浦县中考数学一检试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省漳州市漳浦县中考数学一检试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
3．（4分）如图，一个水平放置的正六棱柱，这个正六棱柱的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法表示为（ ）
A．25×104 B．0.25×106 C．2.5×105 D．2.5×106
5．（4分）已知﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（ ）
A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
6．（4分）运算结果为a6的式子是（ ）
A．a3•a2 B．（a2）3 C．a12÷a2 D．a7﹣a
7．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（ ）
A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm
8．（4分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（ ）
A．﹣1＝ B．﹣1＝
C．+1＝ D．+1＝
9．（4分）2020年是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年，全国832个贫困县全部脱贫摘帽．经2020年精准扶贫后，某贫困村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该村的经济收入变化情况，统计了该村精准扶贫前后的经济收入构成比例，得到如下统计图：则下面结论中不正确的是（ ）
A．精准扶贫后，种植收入减少
B．精准扶贫后，其他收入增加了一倍以上
C．精准扶贫后，养殖收入增加了一倍
D．精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10．（4分）二次函数y＝﹣x2+ax，若x为正整数，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≤2 D．a≥2
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：ab﹣a＝ ．
12．（4分）计算：2﹣1+（﹣5）0＝ ．
13．（4分）从、﹣1、1、2中任取两个数求和作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
14．（4分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相取长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°．如图，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB在x轴正半轴上，则点D的坐标是 ．
15．（4分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为 ．
16．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，若△ACD的面积为4，则k＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF．求证：∠AEB＝∠CFD．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点．
（1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求DF的长．
22．（10分）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像AB的高度，如图，她在雕像前C处用测倾器测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的D处用测倾器测得顶端A的仰角为30°，已知CD＝8m，求雕像AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1m）
23．（10分）电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．
表1：四种款式电脑的利润
电脑款式
A
B
C
D
利润（元/台）
160
200
240
320
表2：甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式
A
B
C
D
甲店销售数量（台）
20
15
10
5
乙店销售数量（台）8
8
10
14
18
试运用统计与概率知识，解决下列问题：
（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为 ；
（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，DE⊥AC于点E，F为BC的中点，连接AF交DE于点G，连接DF．
（1）求证：DF＝BC；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若CF＝GF，求sin∠BAF的值．
25．（14分）若二次函数y＝ax2+bx+c过点A（0，﹣），点B（m﹣b，m2﹣mb﹣）（点A与点B不重合）．
（1）当b＝0，m＝时，
①求二次函数的解析式；
②设直线AB与x轴所夹的锐角为α，求tanα的值；
（2）当b≥0，﹣1≤x≤时，记二次函数y＝ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0|的最小值．
2021年福建省漳州市漳浦县中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
2．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）如图，一个水平放置的正六棱柱，这个正六棱柱的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看可得到一个正六边形．
故选：D．
4．（4分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法表示为（ ）
A．25×104 B．0.25×106 C．2.5×105 D．2.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：250000＝2.5×105，
故选：C．
5．（4分）已知﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（ ）
A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
【分析】根据不等式的性质分析求解．
【解答】解：﹣≥b，
系数化1，得：a≤﹣2b，
这是依据的不等式性质3，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
故选：C．
6．（4分）运算结果为a6的式子是（ ）
A．a3•a2 B．（a2）3 C．a12÷a2 D．a7﹣a
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，及合并同类项对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项错误；
B、（a2）3＝a6，故本选项正确；
C、a12÷a2＝a10，故本选项错误；
D、a7与a不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：B．
7．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（ ）
A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm
【分析】设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，由题意得：＝，求出x≈0.618×108＝66.744（cm），即可求解．
【解答】解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，
由题意得：＝，
∴x≈0.618×108＝66.744（cm），
∴x+108≈175（cm），
即小凡的身高约为175cm，
故选：C．
8．（4分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（ ）
A．﹣1＝ B．﹣1＝
C．+1＝ D．+1＝
【分析】根据电动车每小时比自行车多行驶了25千米，可用x表示出电动车的速度，再由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列出方程．
【解答】解：
设自行车的平均速度为x千米/小时，则电动车的平均速度为（x+25）千米/小时，
由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列方程﹣1＝，
故选：B．
9．（4分）2020年是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年，全国832个贫困县全部脱贫摘帽．经2020年精准扶贫后，某贫困村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该村的经济收入变化情况，统计了该村精准扶贫前后的经济收入构成比例，得到如下统计图：则下面结论中不正确的是（ ）
A．精准扶贫后，种植收入减少
B．精准扶贫后，其他收入增加了一倍以上
C．精准扶贫后，养殖收入增加了一倍
D．精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设精准扶贫前经济收入为a，精准扶贫后经济收入为2a，根据扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：设精准扶贫前经济收入为a，精准扶贫后经济收入为2a，
A、种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，
则精准扶贫后，种植收入增加，故本选项错误，符合题意；
B、精准扶贫后，其他收入5%×2a＝10%a，精准扶贫前，其他收入4%a，
故10%a÷4%a＝2.5＞2，故本选项正确，不符合题意；
C、精准扶贫后，养殖收入30%×2a＝60%a，精准扶贫前，养殖收入30%a，
故60%a÷30%a＝2，故本选项正确，不符合题意；
D、精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝﹣x2+ax，若x为正整数，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≤2 D．a≥2
【分析】先求出抛物线的对称轴，确定y随x的增大而减小的x的范围，再有x为正整数即可确定a的范围．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，且二次项系数为﹣1，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
又∵x为正整数，
∴x≥1，
∴，
∴a≤2，
故选：C．
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：ab﹣a＝ a（b﹣1） ．
【分析】提公因式a即可．
【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．
故答案为：a（b﹣1）．
12．（4分）计算：2﹣1+（﹣5）0＝ ．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
【解答】解：原式＝+1＝，
故答案为：．
13．（4分）从、﹣1、1、2中任取两个数求和作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有8种，
则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为＝．
故答案为：．
14．（4分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相取长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°．如图，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB在x轴正半轴上，则点D的坐标是 （1，） ．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，由菱形的性质可得AB＝AD＝2，由直角三角形的性质可求AH，DH，即可求点D坐标．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
∵∠BAD＝60°，DH⊥AB，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝1，DH＝AH＝，
∴点D（1，），
故答案为（1，）．
15．（4分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为 1 ．
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝1．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BC＝1，
∴OB＝BC＝1，
即⊙O的半径为1．
故答案为：1．
16．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，若△ACD的面积为4，则k＝ ﹣ ．
【分析】设点C（x，），则A（2x，），从而得到点D（2x，），再通过△ACD的面积为4计算出k．
【解答】解：设点C（x，），
∵点C是OA的中点，
∴A（2x，），
∴点D（2x，），
∴AD＝﹣＝，
过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝x﹣2x＝﹣x，
∵△ACD的面积为4，
∴S△ACD＝＝••（x﹣2x）＝4，
解得：k＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为x＞﹣1．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF．求证：∠AEB＝∠CFD．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠A＝∠C，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算括号内分式的减法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当时，
原式＝
＝
＝1﹣．
20．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
【分析】设它的长为x步，则宽为（20﹣x）步，根据矩形田地的面积为96平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合长不小于宽即可确定x的值，再将其代入x﹣（20﹣x）中即可求出它的长比宽多的步数．
【解答】解：设它的长为x步，则宽为（20﹣x）步，
依题意得：x（20﹣x）＝96，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝12，x2＝8．
当x＝12时，20﹣x＝20﹣12＝8＜12，符合题意，
此时x﹣（20﹣x）＝12﹣8＝4；
当x＝8时，20﹣x＝20﹣8＝12＞8，不合题意，舍去．
答：它的长比宽多了4步．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点．
（1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求DF的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AE即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DF⊥AE即可；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵点E是BC的中点．
∴BE＝BC＝3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝5，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴．
22．（10分）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像AB的高度，如图，她在雕像前C处用测倾器测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的D处用测倾器测得顶端A的仰角为30°，已知CD＝8m，求雕像AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1m）
【分析】设CE＝xm，解Rt△ACE与Rt△ECB，用含x的代数式表示出AE、CE，然后根据△AED是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x的值，进而可得AB．
【解答】解：设CE＝xm，
∵∠ACE＝60°，∠ECB＝45°，
∴AE＝x•tan60＝x，EB＝x•tan45°＝x（m），
∵∠ADC＝30°，CD＝8m，
∵∠ADE＝30°，
∴ED＝AE，
∴×x＝x+8，
解得x＝4（m），
∴AB＝x+x＝4+4≈10.8（m）．
答：该雕像AB的高度约为10.8m．
23．（10分）电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．
表1：四种款式电脑的利润
电脑款式
A
B
C
D
利润（元/台）
160
200
240
320
表2：甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式
A
B
C
D
甲店销售数量（台）
20
15
10
5
乙店销售数量（台）8
8
10
14
18
试运用统计与概率知识，解决下列问题：
（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为 ；
（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．
【分析】（1）用利润不少于240元的数量除以总数量即可得；
（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得．
【解答】解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为＝，
故答案为：；
（2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为＝204（元），
乙店每售出一台电脑的平均利润值为＝248（元），
∵248＞204，
∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；
又两店每月的总销量相当，
∴应对甲店作出暂停营业的决定．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，DE⊥AC于点E，F为BC的中点，连接AF交DE于点G，连接DF．
（1）求证：DF＝BC；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若CF＝GF，求sin∠BAF的值．
【分析】（1）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）连接OD，OF，证明△ODF≌△OCF（SSS），由全等三角形的性质昨出∠ODF＝∠OCF＝90°，则可得出结论；
（3）过点F作FM⊥DE于点M，过点F作FN⊥BD于点N，证明△AEG∽△FMG，得出，设CF＝DF＝FG＝x，则AF＝3x，BF＝x，由勾股定理求出AB＝2x，由锐角三角函数的定义求出NF＝x，则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵F为BC的中点，
∴DF＝BC；
（2）连接OD，OF，
∵F为BC的中点，DF＝BC，
∴DF＝CF，
在△ODF与△OCF中，
，
∴△ODF≌△OCF（SSS），
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，
∴DF是⊙O的切线．
（3）解：过点F作FM⊥DE于点M，过点F作FN⊥BD于点N，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴△AEG∽△ACF，△ADG∽△ABF，
∴，，
∴，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG，
∵DF＝CF＝FG，FM⊥DG，
∴DM＝MG，
∵∠AEG＝∠FMG，∠AGE＝∠FGM，
∴△AEG∽△FMG，
∴，
∴AG＝2FG，
设CF＝DF＝FG＝x，则AF＝3x，BF＝x，
∴AC＝＝2x，
∴AB＝＝＝2x，
∵sin∠NFB＝sin∠CBA，
∴，
∴，
∴NF＝x，
∴sin∠BAF＝．
25．（14分）若二次函数y＝ax2+bx+c过点A（0，﹣），点B（m﹣b，m2﹣mb﹣）（点A与点B不重合）．
（1）当b＝0，m＝时，
①求二次函数的解析式；
②设直线AB与x轴所夹的锐角为α，求tanα的值；
（2）当b≥0，﹣1≤x≤时，记二次函数y＝ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0|的最小值．
【分析】（1）①根据m和b的值求出点B的坐标，把点A和点B代入抛物线的解析式即可求出抛物线的解析式；
②画出直线AB的图象，作BC⊥x轴，AC⊥y轴，BC和AC交于C点，利用三角函数的定义即可求出tanα的值；
（2）把点B代入抛物线的解析式，求出a的值，根据b的范围求出抛物线的对称轴的位置，再根据对称轴在﹣1的左侧和右侧两种情况分类讨论即可．
【解答】解：（1）①当b＝0，m＝时，点B（，），
把点A，B代入抛物线的解析式得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝；
②由点A，B得直线AB的图象如下：
作BC⊥x轴，AC⊥y轴，BC和AC交于C点，
则BC＝3，AC＝，
∵AC∥x轴，
∴∠BAC＝α，
∴tanα＝＝＝；
（2）把点B代入抛物线的解析式，
得：＝，
化简得m﹣b＝a（m﹣b），
∴a＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴b≥0，
∴≤0，
若≤﹣1，即b≥2，则当x＝﹣1时，对应的点P到x轴距离最远，
∴＝，
∴|y0|＝b﹣，
当＞﹣1时，即0≤b＜2，则当x＝时，P到x轴的距离最远，
∴＝，
∴|y0|＝+≥，
综上，|y0|的最小值为．
2021年福建省漳州市漳浦县中考数学一检试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
3．（4分）如图，一个水平放置的正六棱柱，这个正六棱柱的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法表示为（ ）
A．25×104 B．0.25×106 C．2.5×105 D．2.5×106
5．（4分）已知﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（ ）
A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
6．（4分）运算结果为a6的式子是（ ）
A．a3•a2 B．（a2）3 C．a12÷a2 D．a7﹣a
7．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（ ）
A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm
8．（4分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（ ）
A．﹣1＝ B．﹣1＝
C．+1＝ D．+1＝
9．（4分）2020年是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年，全国832个贫困县全部脱贫摘帽．经2020年精准扶贫后，某贫困村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该村的经济收入变化情况，统计了该村精准扶贫前后的经济收入构成比例，得到如下统计图：则下面结论中不正确的是（ ）
A．精准扶贫后，种植收入减少
B．精准扶贫后，其他收入增加了一倍以上
C．精准扶贫后，养殖收入增加了一倍
D．精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10．（4分）二次函数y＝﹣x2+ax，若x为正整数，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≤2 D．a≥2
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：ab﹣a＝ ．
12．（4分）计算：2﹣1+（﹣5）0＝ ．
13．（4分）从、﹣1、1、2中任取两个数求和作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
14．（4分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相取长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°．如图，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB在x轴正半轴上，则点D的坐标是 ．
15．（4分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为 ．
16．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，若△ACD的面积为4，则k＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF．求证：∠AEB＝∠CFD．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点．
（1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求DF的长．
22．（10分）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像AB的高度，如图，她在雕像前C处用测倾器测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的D处用测倾器测得顶端A的仰角为30°，已知CD＝8m，求雕像AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1m）
23．（10分）电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．
表1：四种款式电脑的利润
电脑款式
A
B
C
D
利润（元/台）
160
200
240
320
表2：甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式
A
B
C
D
甲店销售数量（台）
20
15
10
5
乙店销售数量（台）8
8
10
14
18
试运用统计与概率知识，解决下列问题：
（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为 ；
（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，DE⊥AC于点E，F为BC的中点，连接AF交DE于点G，连接DF．
（1）求证：DF＝BC；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若CF＝GF，求sin∠BAF的值．
25．（14分）若二次函数y＝ax2+bx+c过点A（0，﹣），点B（m﹣b，m2﹣mb﹣）（点A与点B不重合）．
（1）当b＝0，m＝时，
①求二次函数的解析式；
②设直线AB与x轴所夹的锐角为α，求tanα的值；
（2）当b≥0，﹣1≤x≤时，记二次函数y＝ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0|的最小值．
2021年福建省漳州市漳浦县中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
2．（4分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）如图，一个水平放置的正六棱柱，这个正六棱柱的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看可得到一个正六边形．
故选：D．
4．（4分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法表示为（ ）
A．25×104 B．0.25×106 C．2.5×105 D．2.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：250000＝2.5×105，
故选：C．
5．（4分）已知﹣a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（ ）
A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
【分析】根据不等式的性质分析求解．
【解答】解：﹣≥b，
系数化1，得：a≤﹣2b，
这是依据的不等式性质3，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
故选：C．
6．（4分）运算结果为a6的式子是（ ）
A．a3•a2 B．（a2）3 C．a12÷a2 D．a7﹣a
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，及合并同类项对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项错误；
B、（a2）3＝a6，故本选项正确；
C、a12÷a2＝a10，故本选项错误；
D、a7与a不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：B．
7．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（ ）
A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm
【分析】设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，由题意得：＝，求出x≈0.618×108＝66.744（cm），即可求解．
【解答】解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，
由题意得：＝，
∴x≈0.618×108＝66.744（cm），
∴x+108≈175（cm），
即小凡的身高约为175cm，
故选：C．
8．（4分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（ ）
A．﹣1＝ B．﹣1＝
C．+1＝ D．+1＝
【分析】根据电动车每小时比自行车多行驶了25千米，可用x表示出电动车的速度，再由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列出方程．
【解答】解：
设自行车的平均速度为x千米/小时，则电动车的平均速度为（x+25）千米/小时，
由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列方程﹣1＝，
故选：B．
9．（4分）2020年是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年，全国832个贫困县全部脱贫摘帽．经2020年精准扶贫后，某贫困村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该村的经济收入变化情况，统计了该村精准扶贫前后的经济收入构成比例，得到如下统计图：则下面结论中不正确的是（ ）
A．精准扶贫后，种植收入减少
B．精准扶贫后，其他收入增加了一倍以上
C．精准扶贫后，养殖收入增加了一倍
D．精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设精准扶贫前经济收入为a，精准扶贫后经济收入为2a，根据扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：设精准扶贫前经济收入为a，精准扶贫后经济收入为2a，
A、种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，
则精准扶贫后，种植收入增加，故本选项错误，符合题意；
B、精准扶贫后，其他收入5%×2a＝10%a，精准扶贫前，其他收入4%a，
故10%a÷4%a＝2.5＞2，故本选项正确，不符合题意；
C、精准扶贫后，养殖收入30%×2a＝60%a，精准扶贫前，养殖收入30%a，
故60%a÷30%a＝2，故本选项正确，不符合题意；
D、精准扶贫后，养殖收入与第三产业收入的总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝﹣x2+ax，若x为正整数，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≤2 D．a≥2
【分析】先求出抛物线的对称轴，确定y随x的增大而减小的x的范围，再有x为正整数即可确定a的范围．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，且二次项系数为﹣1，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
又∵x为正整数，
∴x≥1，
∴，
∴a≤2，
故选：C．
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：ab﹣a＝ a（b﹣1） ．
【分析】提公因式a即可．
【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．
故答案为：a（b﹣1）．
12．（4分）计算：2﹣1+（﹣5）0＝ ．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
【解答】解：原式＝+1＝，
故答案为：．
13．（4分）从、﹣1、1、2中任取两个数求和作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有8种，
则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为＝．
故答案为：．
14．（4分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相取长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°．如图，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB在x轴正半轴上，则点D的坐标是 （1，） ．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，由菱形的性质可得AB＝AD＝2，由直角三角形的性质可求AH，DH，即可求点D坐标．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
∵∠BAD＝60°，DH⊥AB，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝1，DH＝AH＝，
∴点D（1，），
故答案为（1，）．
15．（4分）一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC＝1，则⊙O的半径为 1 ．
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝1．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠A与∠BOC都对，∠A＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BC＝1，
∴OB＝BC＝1，
即⊙O的半径为1．
故答案为：1．
16．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，若△ACD的面积为4，则k＝ ﹣ ．
【分析】设点C（x，），则A（2x，），从而得到点D（2x，），再通过△ACD的面积为4计算出k．
【解答】解：设点C（x，），
∵点C是OA的中点，
∴A（2x，），
∴点D（2x，），
∴AD＝﹣＝，
过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝x﹣2x＝﹣x，
∵△ACD的面积为4，
∴S△ACD＝＝••（x﹣2x）＝4，
解得：k＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为x＞﹣1．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF．求证：∠AEB＝∠CFD．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠A＝∠C，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算括号内分式的减法、将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当时，
原式＝
＝
＝1﹣．
20．（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
【分析】设它的长为x步，则宽为（20﹣x）步，根据矩形田地的面积为96平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合长不小于宽即可确定x的值，再将其代入x﹣（20﹣x）中即可求出它的长比宽多的步数．
【解答】解：设它的长为x步，则宽为（20﹣x）步，
依题意得：x（20﹣x）＝96，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝12，x2＝8．
当x＝12时，20﹣x＝20﹣12＝8＜12，符合题意，
此时x﹣（20﹣x）＝12﹣8＝4；
当x＝8时，20﹣x＝20﹣8＝12＞8，不合题意，舍去．
答：它的长比宽多了4步．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点．
（1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求DF的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AE即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DF⊥AE即可；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵点E是BC的中点．
∴BE＝BC＝3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝5，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴．
22．（10分）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像AB的高度，如图，她在雕像前C处用测倾器测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的D处用测倾器测得顶端A的仰角为30°，已知CD＝8m，求雕像AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1m）
【分析】设CE＝xm，解Rt△ACE与Rt△ECB，用含x的代数式表示出AE、CE，然后根据△AED是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x的值，进而可得AB．
【解答】解：设CE＝xm，
∵∠ACE＝60°，∠ECB＝45°，
∴AE＝x•tan60＝x，EB＝x•tan45°＝x（m），
∵∠ADC＝30°，CD＝8m，
∵∠ADE＝30°，
∴ED＝AE，
∴×x＝x+8，
解得x＝4（m），
∴AB＝x+x＝4+4≈10.8（m）．
答：该雕像AB的高度约为10.8m．
23．（10分）电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．
表1：四种款式电脑的利润
电脑款式
A
B
C
D
利润（元/台）
160
200
240
320
表2：甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式
A
B
C
D
甲店销售数量（台）
20
15
10
5
乙店销售数量（台）8
8
10
14
18
试运用统计与概率知识，解决下列问题：
（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为 ；
（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．
【分析】（1）用利润不少于240元的数量除以总数量即可得；
（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得．
【解答】解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为＝，
故答案为：；
（2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为＝204（元），
乙店每售出一台电脑的平均利润值为＝248（元），
∵248＞204，
∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；
又两店每月的总销量相当，
∴应对甲店作出暂停营业的决定．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB边于点D，DE⊥AC于点E，F为BC的中点，连接AF交DE于点G，连接DF．
（1）求证：DF＝BC；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若CF＝GF，求sin∠BAF的值．
【分析】（1）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）连接OD，OF，证明△ODF≌△OCF（SSS），由全等三角形的性质昨出∠ODF＝∠OCF＝90°，则可得出结论；
（3）过点F作FM⊥DE于点M，过点F作FN⊥BD于点N，证明△AEG∽△FMG，得出，设CF＝DF＝FG＝x，则AF＝3x，BF＝x，由勾股定理求出AB＝2x，由锐角三角函数的定义求出NF＝x，则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵F为BC的中点，
∴DF＝BC；
（2）连接OD，OF，
∵F为BC的中点，DF＝BC，
∴DF＝CF，
在△ODF与△OCF中，
，
∴△ODF≌△OCF（SSS），
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，
∴DF是⊙O的切线．
（3）解：过点F作FM⊥DE于点M，过点F作FN⊥BD于点N，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴△AEG∽△ACF，△ADG∽△ABF，
∴，，
∴，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG，
∵DF＝CF＝FG，FM⊥DG，
∴DM＝MG，
∵∠AEG＝∠FMG，∠AGE＝∠FGM，
∴△AEG∽△FMG，
∴，
∴AG＝2FG，
设CF＝DF＝FG＝x，则AF＝3x，BF＝x，
∴AC＝＝2x，
∴AB＝＝＝2x，
∵sin∠NFB＝sin∠CBA，
∴，
∴，
∴NF＝x，
∴sin∠BAF＝．
25．（14分）若二次函数y＝ax2+bx+c过点A（0，﹣），点B（m﹣b，m2﹣mb﹣）（点A与点B不重合）．
（1）当b＝0，m＝时，
①求二次函数的解析式；
②设直线AB与x轴所夹的锐角为α，求tanα的值；
（2）当b≥0，﹣1≤x≤时，记二次函数y＝ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0|的最小值．
【分析】（1）①根据m和b的值求出点B的坐标，把点A和点B代入抛物线的解析式即可求出抛物线的解析式；
②画出直线AB的图象，作BC⊥x轴，AC⊥y轴，BC和AC交于C点，利用三角函数的定义即可求出tanα的值；
（2）把点B代入抛物线的解析式，求出a的值，根据b的范围求出抛物线的对称轴的位置，再根据对称轴在﹣1的左侧和右侧两种情况分类讨论即可．
【解答】解：（1）①当b＝0，m＝时，点B（，），
把点A，B代入抛物线的解析式得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝；
②由点A，B得直线AB的图象如下：
作BC⊥x轴，AC⊥y轴，BC和AC交于C点，
则BC＝3，AC＝，
∵AC∥x轴，
∴∠BAC＝α，
∴tanα＝＝＝；
（2）把点B代入抛物线的解析式，
得：＝，
化简得m﹣b＝a（m﹣b），
∴a＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴b≥0，
∴≤0，
若≤﹣1，即b≥2，则当x＝﹣1时，对应的点P到x轴距离最远，
∴＝，
∴|y0|＝b﹣，
当＞﹣1时，即0≤b＜2，则当x＝时，P到x轴的距离最远，
∴＝，
∴|y0|＝+≥，
综上，|y0|的最小值为．
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