初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试单元测试练习题

这是一份初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试单元测试练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第2章 一元二次方程测试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.【2020·武威】已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为(　　)
A．－1或2 B．－1 C．2 D．0
2.【中考·郴州】一元二次方程2x2＋3x－5＝0的根的情况为(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3.【2020·菏泽】等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为(　　)
A．3 B．4 C．3或4 D．7
4.【中考·鄂州】关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为(　　)
A. B. C. D．0
5.9月1号到校前，小蕾将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，收到小蕾短信的同学有(　　)
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
6.夏敏同学解一元二次方程x(x＋2)＝3(x＋2)得到的根是x＝3，她遗漏的根是(　　)
A．－3 B．－2 C．0 D．2
7.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为5，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(　　)
A．(x＋5)(x－6) B．(x－5)(x＋6) C．(x＋5)(x＋6) D．(x－5)(x－6)
8.用配方法解方程x2＋px＋q＝0，配方后所得的方程是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
9.若关于x的一元二次方程a(x＋m)2＋b＝0(a，b，m均为常数，a≠0)的解是x1＝－3，x2＝1，则方程a(x＋m－2)2＋b＝0的解是(　　)
A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝－3，x2＝－7 C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－5
10.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是(　　)
①方程x2＋3x＋2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx－n)＝0是倍根方程，则n＝4m或n＝m；③若点(p，q)在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程．
A．① B．①② C．①③ D．①②③
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.【2020·邵阳】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各是多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________________________．
12.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有____________队．
13.【2020·成都】关于x的一元二次方程2x2－4x＋m－＝0有实数根，则实数m的取值范围是________________________．
14.将方程(2x＋1)2＋(3x－2)－(2x－3)(x＋1)＝10化为一般形式是____________．
15.一个等腰三角形的底边长是7，腰长a满足a2－10a＋21＝0，则此等腰三角形的周长是_________．
16.若代数式3x2的值与－4x－1的值互为相反数，则x的值是____________．
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.用合适的方法解方程．
(1)(2x＋3)2－36＝0；
(2)【2021·六安期末】x2＋4x－1＝0；
(3)x2－2x＝2；
(4)4(x－5)2＝(x－5)(x＋5)．






18.已知x＝1是关于x的一元二次方程x2－4mx＋m2＝0的根，求代数式2m(m－2)－(m＋)(m－)的值．






19.【中考·南京】某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖的费用为每平方米100元．如果计划总费用为642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

20.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度运动，且P，Q两点同时出发，设出发时间为t s，△PBQ的面积为S cm2.
(1)请直接用含t的式子写出线段BP，BQ的长；









21.【中考·南充】已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得等式1x1＋1x2＝k－2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.【2020·武威】已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为(　B　)
A．－1或2 B．－1 C．2 D．0
2.【中考·郴州】一元二次方程2x2＋3x－5＝0的根的情况为(　B　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3.【2020·菏泽】等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为(　C　)
A．3 B．4 C．3或4 D．7
4.【中考·鄂州】关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为(　A　)
A. B. C. D．0
【点拨】∵x1＋x2＝4，∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5，∴x2＝，把x＝代入x2－4x＋m＝0，得－4×＋m＝0，解得m＝.
5.9月1号到校前，小蕾将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，收到小蕾短信的同学有(　C　)
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
【点拨】设小蕾给x个同学发了短信，依题意，得1＋x＋x2＝157，解得x1＝－13(舍去)，x2＝12.故选C.
6.夏敏同学解一元二次方程x(x＋2)＝3(x＋2)得到的根是x＝3，她遗漏的根是(　B　)
A．－3 B．－2 C．0 D．2
7.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为5，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(　B　)
A．(x＋5)(x－6) B．(x－5)(x＋6) C．(x＋5)(x＋6) D．(x－5)(x－6)
8.用配方法解方程x2＋px＋q＝0，配方后所得的方程是(　A　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
9.若关于x的一元二次方程a(x＋m)2＋b＝0(a，b，m均为常数，a≠0)的解是x1＝－3，x2＝1，则方程a(x＋m－2)2＋b＝0的解是(　　)
A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝－3，x2＝－7 C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－5
【点拨】∵方程a(x＋m)2＋b＝0的解为x1＝－3，x2＝1，
∴x1＝－m－＝－3，x2＝－m＋＝1.
解方程a(x＋m－2)2＋b＝0，得x＝2－m±，
∴方程a(x＋m－2)2＋b＝0的两根分别为x1＝2－3＝－1，x2＝2＋1＝3.通过比较两个方程的系数，找出两个方程之间的根的联系是本题的难点，而求方程a(x＋m－2)2＋b＝0的两根时，2到底是加－3或1还是减－3或1是本题的易错点．
【答案】 C
10.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是(　　)
①方程x2＋3x＋2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx－n)＝0是倍根方程，则n＝4m或n＝m；③若点(p，q)在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程．
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【点拨】①∵x2＋3x＋2＝0，∴因式分解得(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝－1，x2＝－2，∴x2＝2x1，∴方程x2＋3x＋2＝0是倍根方程；故①正确；
②解方程(x－2)(mx－n)＝0，得x1＝2，x2＝.
∵(x－2)(mx－n)＝0是倍根方程，∴2＝或4＝，
即m＝n或n＝4m，故②正确；
③∵点(p，q)在反比例函数y＝的图象上，∴pq＝2，
解方程px2＋3x＋q＝0得x1＝＝－，x2＝＝－，
∴x2＝2x1，故③正确．综上，①②③正确．其中在②的判定上不能正确使用倍根方程的定义，只能得出2＝或4＝中的一个结论是本题的易错点．
【答案】 D
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.【2020·邵阳】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各是多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________________________．
【答案】x(x＋12)＝864
12.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有____________队．
【点拨】设参加比赛的球队有x队，依题意得x(x－1)＝21，整理，得x2－x－42＝0，解得x1＝－6(不合题意，舍去)，x2＝7.
【答案】7
13.【2020·成都】关于x的一元二次方程2x2－4x＋m－＝0有实数根，则实数m的取值范围是________________________．
【答案】m≤
14.将方程(2x＋1)2＋(3x－2)－(2x－3)(x＋1)＝10化为一般形式是____________．
【点拨】(2x＋1)2＋(3x－2)－(2x－3)(x＋1)＝10，即4x2＋4x＋1＋3x－2－2x2＋x＋3＝10，∴x2＋4x－4＝0.
【答案】x2＋4x－4＝0
15.一个等腰三角形的底边长是7，腰长a满足a2－10a＋21＝0，则此等腰三角形的周长是_________．
【点拨】∵a2－10a＋21＝0，
∴a＝3或a＝7.
当a＝3时，3＋3＜7，故不能组成三角形，故a＝3舍去；
当a＝7时，7＋7＞7，故能组成三角形，∴腰长为7.
∴三角形的周长为7＋7＋7＝21.
【答案】21
16.若代数式3x2的值与－4x－1的值互为相反数，则x的值是____________．
【点拨】由题意得3x2－4x－1＝0，移项，得3x2－4x＝1，
方程两边都除以3，得x2－x＝，
配方，得x2－x＋＝＋.即＝，
∴x－＝±，∴x＝或x＝.
【答案】或x＝
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.用合适的方法解方程．
(1)(2x＋3)2－36＝0；
解：移项，得(2x＋3)2＝36.
开平方，得2x＋3＝±6，
∴2x＝－3＋6或2x＝－3－6，
∴x1＝，x2＝－.
(2)【2021·六安期末】x2＋4x－1＝0；
解：∵a＝1，b＝4，c＝－1，
∴b2－4ac＝16＋4＝20，
∴x＝＝＝－2±.
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)x2－2x＝2；
解：配方，得x2－2x＋1＝2＋1，
∴(x－1)2＝3，∴x－1＝±，
解得x1＝1＋，x2＝1－.
(4)4(x－5)2＝(x－5)(x＋5)．
解：方程变形，得4(x－5)2－(x－5)·(x＋5)＝0，
因式分解，得(x－5)(4x－20－x－5)＝0，
可得x－5＝0或4x－20－x－5＝0，解得x1＝5，x2＝.
18.已知x＝1是关于x的一元二次方程x2－4mx＋m2＝0的根，求代数式2m(m－2)－(m＋)(m－)的值．
解：原式＝2m2－4m－(m2－3)
＝2m2－4m－m2＋3
＝m2－4m＋3.
∵x＝1是关于x的一元二次方程x2－4mx＋m2＝0的根，
∴1－4m＋m2＝0，即m2－4m＝－1，
∴原式＝－1＋3＝2.
19.【中考·南京】某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖的费用为每平方米100元．如果计划总费用为642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m，
依题意得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642 000.
解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
所以3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m.
20.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度运动，且P，Q两点同时出发，设出发时间为t s，△PBQ的面积为S cm2.
(1)请直接用含t的式子写出线段BP，BQ的长；

解：BP＝(12－2t)cm，BQ＝4t cm.
(2)当S＝20时，求t的值．
解：∵S＝(12－2t)×4t＝－4t2＋24t，
∴当S＝20时，－4t2＋24t＝20，
∴t2－6t＋5＝0，
∴t1＝1，t2＝5.
∵0≤t≤6，
∴t的值为1或5.
21.【中考·南充】已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得等式1x1＋1x2＝k－2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根,
∴Δ＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0,解得k≤－1.
(2)∵x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根,
∴x1＋x2＝2,x1x2＝k＋2.
∵1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k＋2＝k－2,
∴(k＋2)(k－2)＝2,解得k1＝－6,k2＝6.
又∵k≤－1,∴k＝－6,
∴当k＝－6时,等式1x1＋1x2＝k－2成立.