数学九年级上册第三章 二次函数综合与测试课时训练

这是一份数学九年级上册第三章 二次函数综合与测试课时训练，共18页。试卷主要包含了若函数y＝，若点A，函数y＝ax2+bx+5，若二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》单元综合达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
4．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
5．函数y＝ax2+bx+5（a≠0），当x＝1与x＝7时函数值相等，则x＝8时，函数值等于（　　）
A．5 B．﹣ C． D．﹣5
6．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（　　）

A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣0.3 D．﹣3.3
7．抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式y1＞y2的解集是（　　）

A．x＜0 B．0＜x＜4 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4
8．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（x﹣35）（400﹣5x） B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
9．已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　）
A．25cm2 B．50cm2 C．100cm2 D．不确定
10．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 　 　．

12．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为　 　．
13．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移4个单位，所得新抛物线的解析式为：y＝﹣2x2，则原抛物线的解析式为　 　．
14．二次函数y＝x2+2x+2图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图象的顶点坐标是　 　．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．则此抛物线的解析式是　 　．

16．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，则c的最大值是　 　．
17．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则当x＝　 　时，y的值最大．

18．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，如果点M在y轴右侧抛物线上，且，那么点M的坐标是　 　．

三．解答题（共5小题，满分40分）
19．如图，直线y＝﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a（x﹣h）2的顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）若点C（m，﹣）在该抛物线上，求m的值；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO+PB的值最小，求出点P的坐标．

20．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴帕交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在．说明理由．

21．如图，二次函数y＝（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为（1，﹣4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设直线AM与y轴交于点C，求△BCM的面积；
（3）在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB＝S△BCM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．


22．如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y＝x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点
（1）求b的值；
（2）连接BD，CD，平面内有一点Q（m，n），当四边形BQCD是平行四边形时，求m，n的值．

23．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，
∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
2．解：由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
3．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
4．解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）的对称点为（0，y1），
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
5．解：∵当x＝1与x＝7时函数值相等，
∴x＝0与x＝8的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝5，
∴当x＝8时，y＝5，
故选：A．
6．解：由二次函数y＝ax2+2ax﹣3的部分图象，得
对称轴是直线x＝﹣1，
x1与x2关于对称轴对称，结合图象可得
1.3﹣（﹣1）＝﹣1﹣x2，
解得x2＝﹣3.3．
故选：D．
7．解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式y1＞y2的解集是0＜x＜2．
故选：C．
8．解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y＝（x﹣35）（400﹣5x），
故选：A．
9．解：设一条直角边为x，则另一条为（20﹣x），
∴S＝x（20﹣x）＝﹣（x﹣10）2+50，
∵
∴当x＝10时，S最大＝50cm2．
故选：B．
10．解：∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，
解得：k1＝1，k2＝﹣2，
当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，
则k的值为：﹣2．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴为x＝1，
根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．
12．解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，
∴m＝1，
∴解析式y＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为：（1，2），
故答案为：（1，2）．
13．解：抛物线向上平移2个单位，再向右平移4个单位，所得新抛物线的解析式为：y＝﹣2x2，
将抛物线y＝﹣2x2下移2个单位，左移4个单位得原函数解析式y＝﹣2（x+4）2﹣2，
故答案为：y＝﹣2（x+4）2﹣2．
14．解：∵将二次函数y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，
∴平移后的二次函数的顶点坐标为（2，3）．
故答案是：（2，3）．
15．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AC＝5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC＝∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA＝∠BAO，
∴∠BAC＝∠CBA，
∴CB＝CA＝5，
∴B（5，4）．
把A（﹣3，0）、B（5，4）代入y＝ax2+bx+4，
得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4．
故答案为y＝﹣x2+x+4．
16．解：∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，
∴a＞0，且＝﹣3，即b2＝12a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即12a﹣4ac≥0，即4a（3﹣c）≥0，
∴3﹣c≥0，即c≤3，
∴c的最大值为3．
故答案为：3．
17．解：由题意得：y＝x（24﹣3x），
即y＝﹣3x2+24x，
∵x＞0，且10≥24﹣3x＞0
∴≤x＜8；
故y与x的函数关系为y＝﹣3x2+24x，（≤x＜8）；
∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48（≤x＜8）；
∵开口向下，对称轴为4，
∴当x＝时，花圃有最大面积，
答：当x为时，面积最大，
故答案为：．
18．解：∵y＝x2﹣x﹣6
∵抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A，
令y＝0，设方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1，x2，
∴x1＝﹣2，x2＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
设M点坐标为（a，a2﹣a﹣6），（a＞0）
∵S△AMO＝S△COB，
∴×AO×yM＝××OC×xB
∴×2×|a2﹣a﹣6|＝××6×3，
解得，a1＝0，a2＝1，a3＝﹣3，a4＝4，
∵点M在y轴右侧的抛物线上，
∴a＞0，
∴a＝1或a＝4，
a2﹣a﹣6＝12﹣1﹣6＝﹣6，或a2﹣a﹣6＝42﹣4﹣6＝6
∴M点坐标为（1，﹣6）或（4，6）．
故答案为：（1，﹣6）或（4，6）．

三．解答题（共5小题，满分40分）
19．解：（1）由直线y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B坐标为（0，﹣2），
令y＝0，则x＝﹣2，
∴点A坐标为（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵抛物线顶点为A，且经过点B，
∴y＝a（x+2）2，
∴﹣2＝4a，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
即y＝﹣x2﹣2x﹣2；
（2）∵点C（m，﹣）在抛物线y＝﹣x2﹣2x﹣2上，
∴﹣m2﹣2m﹣2＝﹣，
∴m2+4m﹣5＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣5；
（3）点B关于对称轴x＝﹣2的对称点B′，连接OB′，OB′与对称轴的交点即为点P，
∵点B坐标为（0，﹣2），对称轴是直线x＝﹣2，
∴B′（﹣4，﹣2），
则直线OB′的解析式为：y＝x，
联立方程组，得，
解得，
故P（﹣2，﹣1）．

20．解：（1）把点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）代入抛物线y＝x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1．

（2）存在．
理由：对于抛物线x2﹣x﹣1＝0，解得x＝2或﹣1，
∴B（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵A（2，0），C（0﹣1），
∴AC＝＝，
当CP1＝CA＝时，P1B＝﹣，P1（﹣，），
当CP2＝CA时，P2（，﹣1﹣），
当P3C＝P3A时，易知直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴线段AC的垂直平分线的解析式为y＝﹣2x+，
由解得，
∴P3（，﹣），
当AC＝AP4时，设P4（m，﹣m﹣1），则有（2﹣m）2+（﹣m﹣1）2＝（）2，
∴m＝0或1，
∴P4（1，﹣2）
综上所述．点P的坐标为（﹣，）或（，﹣1﹣）或（，﹣）或（1，﹣2）．

21．解：（1）根据题意，可得﹣m＝1，k＝﹣4，
解得：m＝﹣1，k＝﹣4，
把m＝﹣1，k＝﹣4代入函数解析式，得
y＝（x﹣1）2﹣4，
令y＝0，得（x﹣1）2﹣4＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴A点坐标是（﹣1，0），B点坐标是（3，0）；
（2）如图所示：设AM所在直线解析式为：y＝kx+b，
将A（﹣1，0），M（1，﹣4），代入可得：
，
解得：，
故AM所在直线解析式为：y＝﹣2x﹣2，
令x＝0，得y＝﹣2，
∴点C的坐标是（0，﹣2），
∵B（3，0），C（0，﹣2），M（1，﹣4），
S△BCM＝S△ABM﹣S△ABC＝×AB×4﹣×AB×CO＝8﹣4＝4；
（3）如图所示：过点C作BM的平行线，此时直线BM与抛物线的交点即为P点坐标，
设BM所在直线解析式为：y＝ax+c，将B，M分别代入函数解析式可得：
，
解得：，
故BM所在直线解析式为：y＝2x﹣6，
∵CN∥BM，
∴设直线CN的解析式为：y＝2x+d，
将C点代入可得：y＝2x﹣2，
故将y＝2x﹣2与y＝（x﹣1）2﹣4联立得：
，
解得：，，
故P点坐标为：（2﹣，2﹣2），（2+，2+2）．

22．解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx﹣3，可得1+b﹣3＝0，解得b＝2；
（2）①设抛物线的对称轴与x轴交于点E．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），则OE＝1，DE＝4，
令x＝0得，y＝﹣3；令y＝0得，x2﹣2x﹣3＝0．
解得x＝﹣1或x＝3．
∴OB＝3，OC＝3，BE＝2，
如图1，过C作BD的平行线与直线y＝1相交，则交点必为Q，设直线y＝1与y轴交于点F，则CF＝4．

∵DE∥FC，
∴∠FCQ＝∠EDB．
又∵CF＝4＝DE，∠QFC＝90°＝∠BED，
在△QFC和△△BED中

∴△QFC≌△BED，
∴CQ＝BD，FQ＝EB＝2，
∴m＝FQ＝2，n＝1．
23．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；
（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（3）①当∠ABP＝90°时，

直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，
则直线PB的表达式中的k值为，
设直线PB的表达式为：y＝x+b，
将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，
解得：b＝﹣，
即直线PB的表达式为：y＝x﹣，
当x＝1时，y＝﹣1，
即点P（1，﹣1）（舍去）；
②当∠AP（P′）B＝90°时，
点P′（1，0）；
③当∠PAB＝90°时，
同理可得：点P（﹣7，0），
故点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．