初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试教学设计

第3章一元一次方程小结与复习

一、教学目标

1.复习一元-次方程全章的知识结构、复习一元一次方程的相关概念、等式的性质、一元一次方程的解法；2.在复习的过程中，体会解方程的目标和化归思想；3.通过知识梳理体会数学问题从产生到解决的过程以及数学知识体系建立的过程，增强数学应用的意识，提高学习数学的热情.

二、教学重点、难点

重点：等式的性质及一元一次方程的解法.

难点：找等量关系列一元一次方程.

三、教学过程

知识梳理

一、方程的有关概念
1.方程：含有未知数的等式叫做方程.
2.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
3.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
4.解方程：求方程解的过程叫做解方程.

二、等式的性质 
1.等式的性质1：
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.如果a=b，那么a±c=b±c.
2.等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么=.

三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
1.去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
2.去括号：注意括号前的系数与符号.
3.移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号.
4.合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式.
5.系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝m的形式.

四、实际问题与一元一次方程
1.列方程解决实际问题的一般步骤：
  审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
  设：设未知数，设其中某个未知量为x.
  列：根据题意寻找等量关系列方程.
  解：解方程.
  验：检验方程的解是否符合题意.
  答：写出答案(包括单位).

2.常见的几种方程类型及等量关系：
(1)行程问题中基本量之间的关系：路程＝速度×时间
  ① 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
  ② 追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程
  ③ 流水行船问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水

(2)工程问题中基本量之间的关系：
  ① 工作量＝工作效率×工作时间
  ② 合作的工作效率＝工作效率之和
  ③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效率×工作时间
  ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1.

(3)销售问题中基本量之间的关系：
  ① 商品利润＝商品售价－商品进价
  ② 利润率＝×100%
  ③ 商品售价＝标价×
  ④ 商品售价＝商品进价＋商品利润＝商品进价＋商品进价×利润率＝商品进价×(1＋利润率)

考点讲练

考点一  方程的有关概念

例1 如果x＝2是方程的解，那么a的值是(    )
  A.0      B.2      C.－2      D.－6

针对训练

1.若(m＋3)x|m|-2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为_____.

注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0.

考点二  等式的基本性质

例2 下列说法正确的是(    )
  A.x＋1＝2＋2x变形得到1＝x           B.2x＝3x变形得到2＝3
  C.将方程系数化为1，得    D.将方程3x＝4x－4变形得到x＝4

针对训练

2.下列运用等式的性质，变形正确的是(    )
  A.若x＝y，则x－5＝y＋5    B.若a＝b，则ac＝bc
  C.若，则2a＝3b       D.若x＝y，则

考点三  一元一次方程的解法

例3 解下列方程：
(1) 3x＋1＝4－2(x－3)      (2)

解：(1)去括号，得 3x+1=4-2x+6

移项，得 3x+2x=4+6-1

合并同类项，得 5x=9

系数化为1，得 x=

(2)去分母，得 3(2x+1)-12=12x-(10x+1)

去括号，得 6x+3-12=12x-10x-1

移项，得 6x-12x+10x=-1-3+12

合并同类项，得 4x=8

系数化为1，得 x=2

针对训练

3.解下列方程：
(1)          (2)

解：(1)去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得

(2)去分母，得 2(x-2)=20-5(x+3)

去括号，得 2x-4=20-5x-15

移项，得 2x+5x=20-15+4

合并同类项，得 7x=9

系数化为1，得 x=

考点四  实际问题与一元一次方程

例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离.

解：设甲、乙两码头之间的距离是x km.根据题意，得

                        解得 x=90

答：甲、乙两码头之间的距离是90km.

针对训练

4.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？

解：设他家到学校的路程是x千米.根据题意，得

                    解得 x=15

答：他家到学校的路程是15千米.

例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在又调来17人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多少人？

解：设应调至甲地x人，则调至乙地的人数为(17-x)人.根据题意，得

                    2(28+x)=3(15+17-x)

                     解得 x=8，则17-x=9

答：应调至甲地8人，乙地9人.

针对训练

5.春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量.

解：设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有该品牌服装(450-x)件.根据题意，得

                    x+50=2[(450-x)-50]

                   解得 x=250，则450-x=200

答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件.

例6 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成.现甲、乙合作3天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？

解：设乙、丙还要x天才能完成这项工作.根据题意，得

                                   解得 x=3

答：乙、丙还要3天才能完成这项工作.

针对训练

6.一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的，第二天耕了剩余部分的，还剩下42公顷，则这片地共有多少公顷？

解：设这片地共有x公顷.根据题意，得

                             解得 x=189

答：这片地共有189公顷.

例7 某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折？

解：设最多可以打x折.根据题意，得

                500×(1+40%)×=500×(1+12%)

                           解得 x=8

答：广告上可写出最多打8折.

针对训练

7.一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？

解：设这件商品的进价是x元.根据题意，得

                x(1+40%)×=x+24

                       解得 x=200

答：这件商品的进价是200元.

例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：

假设两家超市相同商品的标价都一样.
(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？

(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？

(3)小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？

解：(1)甲超市实付款：300×0.88=264(元)，乙超市实付款：300×0.9=270(元).

(2) 设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样.由题意知，当x≤500时，甲超市的促销力度大于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以x＞500.根据题意，得

                     0.88x=500×(1-10％)+0.8(x-500)

                    解得 x=625

答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样.

(3)由题意知：①购物标价总额不超过200元，不予优惠；②大于等于200元小于500元，实付款大于等于200×0.9=180(元)，小于500×0.9=450(元)；③大于等于500元，实付款大于等于450元.

小王第一次购物付款198元＜200元，购物标价可能是198元，也可能是198÷0.9=220(元)；第二次购物付款466元＞450元，所以购物标价大于500元，为(466-450)÷0.8+500=520(元).所以，小王两次购物标价之和为198+520=718(元)，或220+520=740(元).
若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为500×0.9+0.8×(718-500)=624.4(元)，
或500×0.9+0.8×(740-500)=642(元).

可以节省：198+466-624.4=39.6(元)，或198+466-642=22(元).
答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省39.6元或22元.

针对训练

8.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠. 设顾客累计购物x元(x＞300).
(1)请用含字母x的式子分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

(2)李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由.

(3)计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市
购物所付的费用一样？

解：(1)顾客在甲超市购物所付的费用为：300+0.8(x-300)=(0.8x+60)元(x＞300)；
顾客在乙超市购物所付的费用为：200+0.85(x-200)=(0.85x+30)元(x＞300).

(2)他应该去乙超市，理由如下：
当x=500时，在甲超市购物所付的费用为：0.8×500+60=460(元)
在乙超市购物所付的费用为：0.85×500+30=455(元)
因为，460＞455
所以，他去乙超市划算.

(3)根据题意，得 0.8x+60=0.85x+30

                 解得 x=600

答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样.

9.为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费.
(1)若居民甲在6月份用电100度，则他这个月应缴纳电费_____元；若居民乙在7月份用电200度，则他这个月应缴纳电费_____元；若居民丙在8月份用电300度，则他这个月应缴纳电费_____元.

(2)若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？

解：设他这个月用电x度.根据题意，得

             0.50×100+0.65×(200-100)+0.75×(x-200)=310

                                              解得 x=460

答：他这个月用电460度.