高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用第2课时学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用第2课时学案及答案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．化简下列向量式，结果为0的个数是( )
①eq \(RS,\s\up7(→))－eq \(RT,\s\up7(→))＋eq \(ST,\s\up7(→))；②eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))；③eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→))；④eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))．
A．1 B．2 C．3 D．4
D [①eq \(RS,\s\up7(→))－eq \(RT,\s\up7(→))＋eq \(ST,\s\up7(→))＝0；
②eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))＝0；
③eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))＝0；
④eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＝0．]
2．如图所示，在正方形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(OD,\s\up7(→))＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是( )
A．eq \(OA,\s\up7(→)) B．eq \(OB,\s\up7(→)) C．eq \(OC,\s\up7(→)) D．eq \(OD,\s\up7(→))
B [由已知得，
a－b＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(DB,\s\up7(→))，c＝eq \(OD,\s\up7(→))，
∴a－b＋c＝eq \(DB,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))．]
3．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，则eq \(EF,\s\up7(→))等于( )
A．b－c B．b＋c
C．－b－c D．－b＋c
A [eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝b－c．]
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝4，|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|，则|eq \(AM,\s\up7(→))|＝( )
A．2 B．4 C．16 D．8
A [因为|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，|eq \(AM,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up7(→))|＝2．]
5．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式正确的是( )
A．eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝0
B．eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))＝0
C．eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＝0
D．eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(FC,\s\up7(→))＝0
A [A项，eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(DB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))＝0；
B项，eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))＝(eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))－eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))－eq \(CE,\s\up7(→))≠0；
C项，eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋(eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→)))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(FE,\s\up7(→))≠0；
D项，eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(FC,\s\up7(→))＝(eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(BE,\s\up7(→)))－eq \(FC,\s\up7(→))＝eq \(ED,\s\up7(→))－eq \(FC,\s\up7(→))＝eq \(ED,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))≠0．]
二、填空题
6．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|．(填写“＝”“≤”或“≥”)
＝ [以a，b为邻边的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|．]
7．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________．
5或9 [∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，
当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9．]
8．如图，在平行四边形ABCD中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示eq \(OD,\s\up7(→))，则eq \(OD,\s\up7(→))＝________．
a＋c－b [因为eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，所以eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝c－b，又eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，所以eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝a＋c－b．]
三、解答题
9．化简：
(1)eq \(MN,\s\up7(→))－eq \(MP,\s\up7(→))＋eq \(NQ,\s\up7(→))－eq \(PQ,\s\up7(→))；
(2)eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))．
[解] (1)eq \(MN,\s\up7(→))－eq \(MP,\s\up7(→))＋eq \(NQ,\s\up7(→))－eq \(PQ,\s\up7(→))＝(eq \(MN,\s\up7(→))＋eq \(NQ,\s\up7(→)))－(eq \(MP,\s\up7(→))＋eq \(PQ,\s\up7(→)))
＝eq \(MQ,\s\up7(→))－eq \(MQ,\s\up7(→))＝0．
(2)eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))＝(eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→)))＋(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))＝0．
10．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(AC,\s\up7(→))＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度．
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c．
[解] (1)由已知得a＋b＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＝c，所以延长AC到E，
使|eq \(CE,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))|．则a＋b＋c＝eq \(AE,\s\up7(→))，且|eq \(AE,\s\up7(→))|＝2eq \r(2)．
所以|a＋b＋c|＝2eq \r(2)．
(2)作eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))，连接BD，CF，
则eq \(DB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(DF,\s\up7(→))，
而eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＝a－b，
所以a－b＋c＝eq \(DB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \(DF,\s\up7(→))，
且|eq \(DF,\s\up7(→))|＝2，所以|a－b＋c|＝2．
11．边长为1的正三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|的值为( )
A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1
B [如图所示，|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC′,\s\up7(→))|＝|eq \(AC′,\s\up7(→))|，
又|eq \(AB,\s\up7(→))|＝1，|eq \(BC′,\s\up7(→))|＝1，∠ABC′＝120°，
∴在△ABC′中，|eq \(AC′,\s\up7(→))|＝eq \r(3)．]
12． (多选题)设a，b是非零向量，则下列不等式中恒成立的是( )
A．|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|≤|a＋b|
C．|a|－|b|≤|a|＋|b| D．|a|≤|a＋b|
ABC [由向量模的不等关系可得：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|，故B恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．令a＝－b，|a|＝2，则|a＋b|＝0，则D不成立．故选ABC．]
13．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝________．
eq \r(3) [如图，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝a＋b，则eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝a－b，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB．
∴△OAB为正三角形，设其边长为1,
则|a－b|＝|eq \(BA,\s\up7(→))|＝1，|a＋b|＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)．
∴eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)．]
14．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq \(AF,\s\up7(→))－eq \(DB,\s\up7(→))等于________．
eq \(BE,\s\up7(→))或eq \(DF,\s\up7(→)) [由题图易知eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))，
∴eq \(AF,\s\up7(→))－eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))－eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(BE,\s\up7(→))，
又eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \(DF,\s\up7(→))，
∴eq \(AF,\s\up7(→))－eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(DF,\s\up7(→))或eq \(BE,\s\up7(→))．]
15．如图所示，▱ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b．
(1)用a，b表示eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
[解] (1)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝b＋a，eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＝a－b．
(2)由(1)知，a＋b＝eq \(AC,\s\up7(→))，a－b＝eq \(DB,\s\up7(→))．
若a＋b与a－b所在直线垂直，
则AC⊥BD．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|．
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
即|eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(BD,\s\up7(→))|．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，
∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|．
(4)不可能，∵▱ABCD的两条对角线不可能平行，
∴a＋b与a－b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．