数学必修 第二册9.4 向量应用导学案

这是一份数学必修 第二册9.4 向量应用导学案，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知λ∈R，则下列说法正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
C [当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]
2．如图所示，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(1,4)(b－a) B．eq \f(1,2)(b－a)
C．eq \f(1,4)(a－b) D．eq \f(1,2)(a－b)
A [eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MC,\s\up7(→))＋eq \(CN,\s\up7(→))＝eq \(MC,\s\up7(→))－eq \(NC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,4)(a＋b)＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)a＝eq \f(1,4)(b－a)．]
3．已知向量a，b且eq \(P1P2,\s\up7(→))＝a＋2b，eq \(P2P3,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq \(P3P4,\s\up7(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．P1，P2，P3 B．P1，P3，P4
C．P2，P3，P4 D．P1，P2，P4
D [∵eq \(P2P4,\s\up7(→))＝eq \(P2P3,\s\up7(→))＋eq \(P3P4,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2eq \(P1P2,\s\up7(→))，∴P1，P2，P4三点共线．]
4．已知a，b是两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
B [∵eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq \(AB,\s\up7(→))，∴eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BD,\s\up7(→))平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．]
5．在△ABC中，eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))，若eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，则eq \(AD,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
A [法一：∵eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))，
∴eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))，
∴eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))
＝eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)a．
法二：eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．]
二、填空题
6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，eq \(AB,\s\up7(→))＝2e1，eq \(BC,\s\up7(→))＝3e2，则eq \(BO,\s\up7(→))＝________．(用e1，e2表示)
eq \f(3,2)e2－e1 [∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，∴eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝3e2－2e1．
又∵eq \(BD,\s\up7(→))＝2eq \(BO,\s\up7(→))，
∴eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \f(3,2)e2－e1．]
7．eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))＝________．
2b－a [eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))＝eq \f(1,6)(2a＋8b)－eq \f(1,3)(4a－2b)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b＝2b－a．]
8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________．
－2 [∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0．
又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，
即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λk＝2，,λ＝－1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－2，,λ＝－1.))]
三、解答题
9．如图，F为线段BC的中点，CE＝2EF，DF＝eq \f(3,5)AF，设eq \(AC,\s\up7(→))＝a，eq \(AB,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示eq \(AE,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))．
[解] 因为eq \(CB,\s\up7(→))＝b－a，eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(b－a)，所以eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b．
因为eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，所以eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(8,5)eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(4,5)(a＋b)，所以eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(4,5)(a＋b)－b＝eq \f(4,5)a－eq \f(1,5)b．
10．已知在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
[证明] 如图所示．
∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴eq \(AD,\s\up7(→))＝2eq \(BC,\s\up7(→))．∴eq \(AD,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))共线，且|eq \(AD,\s\up7(→))|＝2|eq \(BC,\s\up7(→))|．
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC．
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
11．(多选题)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是( )
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
ABD [∵a＝2e，b＝－6e，∴b＝－3a，∴ABD正确，C错误．]
12．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0．若存在实数m使得eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))成立，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0可知，M是△ABC的重心．
取BC的中点D，则eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(AD,\s\up7(→))．
又M是△ABC的重心，∴eq \(AM,\s\up7(→))＝2eq \(MD,\s\up7(→))，∴eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(3,2)eq \(AM,\s\up7(→))，
∴eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝3eq \(AM,\s\up7(→))，即m＝3．]
13．如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up7(→))，P是BN上一点，若eq \(AP,\s\up7(→))＝teq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))，则实数t的值为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(2,5) C．eq \f(1,6) D．eq \f(3,4)
C [法一：因为eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up7(→))，所以eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up7(→))．
设eq \(NP,\s\up7(→))＝λeq \(NB,\s\up7(→))，则eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AN,\s\up7(→))＋eq \(NP,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up7(→))＋λeq \(NB,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up7(→))＋λ(eq \(NA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up7(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)\(AC,\s\up7(→))＋\(AB,\s\up7(→))))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,5)(1－λ)eq \(AC,\s\up7(→))，
又eq \(AP,\s\up7(→))＝teq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))，所以teq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,5)(1－λ)eq \(AC,\s\up7(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝λ,\f(2,5)1－λ＝\f(1,3)))，解得t＝λ＝eq \f(1,6)，故选C．
法二：因为eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up7(→))，所以eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(5,2)eq \(AN,\s\up7(→))，
所以eq \(AP,\s\up7(→))＝teq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＝teq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(5,6)eq \(AN,\s\up7(→))，
因为B，P，N三点共线，所以t＋eq \f(5,6)＝1，所以t＝eq \f(1,6)，选C．]
14．在△ABC中，eq \(BD,\s\up7(→))＝2eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋neq \(AC,\s\up7(→))，则m＝________，n＝________．
eq \f(1,3) eq \f(2,3) [eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝2eq \(AC,\s\up7(→))－2eq \(AD,\s\up7(→))，∴3eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋2eq \(AC,\s\up7(→))，∴eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→))．]
15．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝eq \f(1,2)DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AM,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))＝neq \(AC,\s\up7(→))，求eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的值．
[解] 法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E．
由eq \(AN,\s\up7(→))＝neq \(AC,\s\up7(→))可得eq \f(AC,AN)＝eq \f(1,n)，所以eq \f(AE,EM)＝eq \f(AC,CN)＝eq \f(1,n－1)，由BD＝eq \f(1,2)DC可得eq \f(BM,ME)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(AM,AB)＝eq \f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq \f(2n,3n－1)，因为eq \(AM,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))，所以m＝eq \f(2n,3n－1)，整理可得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3．
法二：连接AD(图略)．因为M，D，N三点共线，所以eq \(AD,\s\up7(→))＝λeq \(AM,\s\up7(→))＋(1－λ)·eq \(AN,\s\up7(→))．
又eq \(AM,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))＝neq \(AC,\s\up7(→))，所以eq \(AD,\s\up7(→))＝λmeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－λ)·neq \(AC,\s\up7(→))．
又eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(→))，所以eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，所以eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))．
比较系数知λm＝eq \f(2,3)，(1－λ)n＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3.