苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用学案，共8页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [eq \(AB,\s\up7(→))＝(1，1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(－3，3)，eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝0，
即eq \(AB,\s\up7(→))⊥eq \(AC,\s\up7(→))，故△ABC为直角三角形．]
2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2eq \r(26) m/s
C．4eq \r(6) m/s D．12 m/s
B [由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝eq \r(102＋22)＝eq \r(104)＝2eq \r(26) m/s．]
3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是( )
A．5 N B．8 N C．10 N D．12 N
C [因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N．]
4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
D [由eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))，可得eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(OB,\s\up7(→))＝0，即eq \(CA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝0，eq \(CA,\s\up7(→))⊥eq \(OB,\s\up7(→))，同理可证eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))．所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]
5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为( )
A．(2，－1) B．(0，－1)
C．(2，3) D．(0，－1)或(2，3)
D [设B的坐标为(x，y)，
则eq \(CB,\s\up7(→))＝(x－1，y－1)，又eq \(AC,\s\up7(→))＝(2，－1)．
由题意知|eq \(CB,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))|，且eq \(CB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋y－12＝5，,2x－1－y－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))]
二、填空题
6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，且|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|，则eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝________．
1 [设BC的中点是D，如图所示，则eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(AD,\s\up7(→))，则eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))，
所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，
所以∠BAC＝90°．
又|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|，
则|eq \(BA,\s\up7(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝2，所以∠ABC＝60°，
所以eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝|eq \(BA,\s\up7(→))||eq \(BC,\s\up7(→))|cs 60°＝1×2×eq \f(1,2)＝1．]
7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．
eq \r(6) [∵eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，
∴eq \(AC,\s\up7(→))2＝eq \(AB,\s\up7(→))2＋eq \(AD,\s\up7(→))2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))，①
又eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))，
∴eq \(BD,\s\up7(→))2＝eq \(AD,\s\up7(→))2＋eq \(AB,\s\up7(→))2－2eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))，②
∴①＋②得eq \(AC,\s\up7(→))2＋eq \(BD,\s\up7(→))2＝2(eq \(AB,\s\up7(→))2＋eq \(AD,\s\up7(→))2)．
又AD＝1，AB＝2，BD＝2，
∴AC＝eq \r(6)．]
8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．
120° [如图，|F1|＝|F2|＝eq \f(|G|,2cs \f(θ,2))．
∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cs eq \f(θ,2)＝1，
∴θ＝120°．]
三、解答题
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°．(用向量方法证明)
[证明] 连接OP，设向量eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OP,\s\up7(→))＝b，
则eq \(OB,\s\up7(→))＝－a，且eq \(PA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))＝a－b，eq \(PB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))＝－a－b，
∴eq \(PA,\s\up7(→))·eq \(PB,\s\up7(→))＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
∴eq \(PA,\s\up7(→))⊥eq \(PB,\s\up7(→))，
即∠APB＝90°．
10．帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h．若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度的大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度的大小为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2．
由题意，可得v1＝(20cs 60°，20sin 60°)＝(10，10eq \r(3))，v2＝(20，0)，
则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10eq \r(3))＋(20，0)＝(30，10eq \r(3))，
所以|v|＝eq \r(302＋10\r(3)2)＝20eq \r(3)(km/h)．
因为tan α＝eq \f(10\r(3),30)＝eq \f(\r(3),3)(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°．
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20eq \r(3) km/h．
11．(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则点O为△ABC的重心
B．若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)－\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)－\f(\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)))＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(AB,\s\up7(→))＝(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，则点O为△ABC的外心
D．若eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))·eq \(OA,\s\up7(→))，则点O为△ABC的内心
AC [选项A，设D为BC的中点，由于eq \(OA,\s\up7(→))＝－(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝－2·eq \(OD,\s\up7(→))，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．
选项B，向量eq \f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)，eq \f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)分别表示在边AC和AB上取单位向量eq \(AC,\s\up7(→))′和eq \(AB,\s\up7(→))′，记它们的差是向量eq \(B′C′,\s\up7(→))，则当eq \(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)－\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)))＝0，
即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，
同理由eq \(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up7(→)),|\(BC,\s\up7(→))|)－\f(\(BA,\s\up7(→)),|\(BA,\s\up7(→))|)))＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．选项C，eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))是以eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))为邻边的平行四边形的一条对角线，而|eq \(AB,\s\up7(→))|是该平行四边形的另一条对角线，eq \(AB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))＝0表示这个平行四边形是菱形，即|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|，同理有|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，于是O为△ABC的外心．选项D，由eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))得eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(→))⊥eq \(CA,\s\up7(→))．同理可证eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))．
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．故选AC．]
12．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则eq \(HB,\s\up7(→))·eq \(HC,\s\up7(→))的最小值为( )
A．－4 B．－25 C．－9 D．－16
D [以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设点H(x，y)，则B(－5，0)，C(5，0)，
所以eq \(HB,\s\up7(→))＝(－5－x，－y)，
eq \(HC,\s\up7(→))＝(5－x，－y)，
则eq \(HB,\s\up7(→))·eq \(HC,\s\up7(→))＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25，
又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，所以9≤x2＋y2≤25，
其中当取AB的中点时取得最小值，所以eq \(HB,\s\up7(→))·eq \(HC,\s\up7(→))＝9－25＝－16，故选D．]
13．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，则x＋y的取值范围是( )
图1 图2
A．[－4，4] B．[－eq \r(21)，eq \r(21)]
C．[－5，5] D．[－6，6]
C [如图建立平面直角坐标系，
令正三角形边长为3，则eq \(OB,\s\up7(→))＝i，eq \(OA,\s\up7(→))＝－eq \f(3,2)i＋eq \f(\r(3),2)j，可得i＝eq \(OB,\s\up7(→))，j＝eq \f(2\r(3),3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \r(3)eq \(OB,\s\up7(→))，
由图知当点P在点C时，有eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \r(3)j＝2eq \(OA,\s\up7(→))＋3eq \(OB,\s\up7(→))，此时x＋y有最大值5，
同理当点P在与C相对的下顶点时有eq \(OP,\s\up7(→))＝－eq \r(3)j＝－2eq \(OA,\s\up7(→))－3eq \(OB,\s\up7(→))，
此时x＋y有最小值－5．故选C． ]
14．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为______，力F做的功为______ J．
25e 1 000 [∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，
∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cs 60°e＝25e．
∵力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，
∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)．]
15．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝eq \f(π,2)，D是线段BC上一点，且eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(→))，F为线段AB上一点．
(1)设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，设eq \(AD,\s\up7(→))＝xa＋yb，求x－y；
(2)求eq \(CF,\s\up7(→))·eq \(FA,\s\up7(→))的取值范围；
(3)若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求eq \(CM,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))．
[解] (1)∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))－\(AC,\s\up7(→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，
而eq \(AD,\s\up7(→))＝xa＋yb，
∴x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)，
∴x－y＝eq \f(1,3)．
(2)∵在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝eq \f(π,2)，
∴∠CAB＝eq \f(π,3)，BC＝eq \r(3)，
∴eq \(CF,\s\up7(→))·eq \(FA,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up7(→))＋\(AF,\s\up7(→))))·eq \(FA,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))·eq \(FA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))·eq \(FA,\s\up7(→))，①
不妨设|eq \(AF,\s\up7(→))|＝x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))．
∴①式＝1×x×cseq \f(π,3)－x2＝－x2＋eq \f(1,2)x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，
∴eq \(CF,\s\up7(→))·eq \(FA,\s\up7(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，\f(1,16)))．
(3)∵F为线段AB的中点，∴eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(→))，
不妨设eq \(CM,\s\up7(→))＝λeq \(CF,\s\up7(→))，
∴eq \(CM,\s\up7(→))＝eq \f(λ,2)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CB,\s\up7(→))，
∴eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(CM,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1))eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→))．
∵A，M，D三点共线，
∴eq \(AM,\s\up7(→))＝μeq \(AD,\s\up7(→))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1))eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CB,\s\up7(→))＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(CB,\s\up7(→))－\(CA,\s\up7(→))))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1＝－μ，,\f(λ,2)＝\f(2,3)μ，))
∴λ＝eq \f(4,5)，
∴eq \(CM,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \f(2,5)eq \(CB,\s\up7(→))．
∴eq \(CM,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)\(CA,\s\up7(→))＋\f(2,5)\(CB,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up7(→))－\(CA,\s\up7(→))))＝eq \f(2,5)eq \(CB,\s\up7(→))2－eq \f(2,5)eq \(CA,\s\up7(→))2＝eq \f(4,5)．