高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形学案及答案

课后素养落实(二十七)　直观图的斜二测画法

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是(　　)

A．正三角形的直观图仍然是正三角形

B．平行四边形的直观图一定是平行四边形

C．正方形的直观图是正方形

D．圆的直观图是圆

B　[由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故A、C错误；又圆的直观图为椭圆，故D错误．]

2．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

C　[根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．]

3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　)

A．AB  B．AD  C．BC  D．AC

D　[由题图可知，在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为直角边上的一条中线，显然斜边AC最长．]

4．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　)

A．2 　  B．2  C．4　  D．4

D　[由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得OB·h＝2××2×O′B′，

∵OB＝O′B′，∴h＝4．]

5．如图所示，为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为(　　)

A．  B．1  C．  D．2

A　[在直观图中，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为．]

二、填空题

6．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm．

8　[由于平行性不变，O′A′∥B′C′，故在原图形中，OABC，∴四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB＝2，则AB＝＝3．

∴原图形的周长为l＝3×2＋1×2＝8．]

7．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．

16　[由题图易知△AOB中，底边OB＝4，

又因为底边OB的高线长为8，

所以面积S＝×4×8＝16．]

8．如图所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

10　[由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10．]

三、解答题

9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．

[解]　画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．

(1)　　　　　　　　　(2)

第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；

在y′轴上以点O′为中点，取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面；

第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′；

第四步，成图，顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图，如图(2)．

10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1，D′C′⊥B′C′，求这块菜地的面积．

[解]　在直观图①中，过点A′作A′E′⊥B′C′，垂足为E′，

①

则在Rt△A′B′E′中，A′B′＝1，

∠A′B′E＝45°，

②

∴B′E′＝，而四边形A′E′C′D′为矩形，A′D′＝1，

∴E′C′＝A′D′＝1．

∴B′C′＝B′E′＋E′C′＝＋1．

由此可得原图形如图②，在原图形中，AD＝1，AB＝2，BC＝＋1，且AD∥BC，AB⊥BC，

∴这块菜地的面积S＝(AD＋BC)·AB＝××2＝2＋．

11．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是(　　)

A．三角形的直观图仍然是一个三角形

B．90°的角的直观图会变为45°的角

C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半

D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

ACD　[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．故选ACD．]

12．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　　)

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等边三角形

C　[将其恢复成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，故△ABC是等腰直角三角形．

]

13．如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，面积为________ cm2．

矩形　8　[由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．]

14．在平面直角坐标系xOy中，O(0，0)，B(4，0)，C(0，2)，用斜二测画法把△OBC画在对应的x′O′y′中时，B′C′的长是________．

　[由题设知OB＝4，OC＝2，∠COB＝90°．根据斜二测画法的规则可得O′B′＝4，O′C′＝＝，

∠C′O′B′＝45°，在△C′O′B′中，由余弦定理，

得B′C′＝＝．]

15．已知△ABC的面积为a2，它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形，并计算△A′B′C′的面积．

[解]　(1)取B′C′所在的直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，建立坐标系x′O′y′；

(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点，在△A′B′C′中，设它的边长为x，∵O′A′＝x，∠A′M′O′＝45°，

∴O′A′＝O′M′＝x，故A′M′＝x；

(3)在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧，

取到点O距离为的点B，C，

在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M，过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA＝x，连接AB，AC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，由S△ABC＝a2，得x×x＝a2，∴x＝a，故△A′B′C′的面积为a2.