初中数学北师大版八年级下册4 角平分线教学课件ppt

这是一份初中数学北师大版八年级下册4 角平分线教学课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，情境引入，讲授新课，探究角平分线的性质，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1.会用尺规作角平分线.2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理.3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.
思考： 要在S区建一个集贸市场.（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
1.什么是角平分线？怎样画角平分线？
如何用尺规作角的平分线？
1.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
同学甲、乙谁的画法是正确的?
按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？
议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°. 又∵OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知），
∴ = .（ ）
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2.如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D，E,PD=4 cm,则（1）PE=_____cm.（2）P点到OB的距离_____cm.
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，　　　 OP=OP，PD=PE，　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) . ∴点P在∠AOB的角平分线上．
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
这样，我们又可以得到一个结论：
梦想成真
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ，DE ＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30.在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10，∴DE= ½ AD= ½ ×10=5 .
例2 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF.
证明：∵AD平分∠CAB，　　 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE ＝ DF(角平分线的性质). 在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,　　 DE=DF （已证）， BD=CD（已知）， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ BE=CF （全等三角形对应边相等）.
例3 已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF.求证:AD是∠BAC的角平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠DEB=∠CFD=90°.在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,　　 BE=CF （已证）， BD=CD（已知）， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴DE ＝ DF(全等三角形对应边相等). 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ 点D在∠A的角平分线上，即AD是它的角平分线.
例4 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求: AD与EF关系.
证明:∵AD平分∠CAB ，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)，∠DAE=∠DAF. ∵∠DEB=∠CFD=90°， ∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线. ∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线， ∴AD垂直平分EF(三线合一）.
巩固提高 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E. 求证：BD＋DE ＝AC.
变式 已知AB ＝15 cm, 求△DBE的周长.
1.用尺规作角平分线.2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.角平分线的判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.