考点27 基本不等式-备战2022年高考数学（理）考点一遍过

这是一份考点27 基本不等式-备战2022年高考数学（理）考点一遍过，共31页。主要包含了基本不等式，基本不等式在实际中的应用等内容，欢迎下载使用。

基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
一、基本不等式
1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：.
（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4．常用结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
二、基本不等式在实际中的应用
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及
等．
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
考向一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．
③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.
典例1 若正数a，b满足，则的最小值为
A．1 B．6
C．9 D．16
【答案】B
【解析】解法一：因为，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，
所以=2×3=6(当且仅当，b=4时取“=”).
故的最小值为6.
解法二：因为，所以a＋b=ab，
所以
(当且仅当，b=4时取“=”)．
故的最小值为6.
解法三：因为，所以，
所以(当且仅当b=4时取“=”)．
故的最小值为6.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
1．函数的最大值为______，此时的值为______.
考向二 基本不等式的实际应用
有关函数最值的实际问题的解题技巧：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元（a、b是常数），用t表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y，即y= (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数．
（1）求y关于t的函数关系式；
（2）当a=112500，b=1000时，求这种设备的最佳更新年限．
【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以b为首项，b为公差的等差数列，
因此年平均维修和消耗费用为(元).
于是有y=b2(t+1)+at=b2+bt2+at,t>0.
（2）由（1）可知，当a=112500，b=1000时，
，
当且仅当t=225t,即t=15时，等号成立.
答：这种设备的最佳更新年限为15年．
【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.
2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.
（1）将总造价（元）表示为长度的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
考向三 基本不等式的综合应用
基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.
典例3 下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A：(当时，)，A不正确；
对于B：，，B不正确；
对于C：，C正确；
对于D：，D不正确.
故选C.
【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.
3．设，，且恒成立，则的最大值是
A．B．
C．D．
典例4 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以
则即.
所以.
当且仅当时取等号.
故答案为：.
【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为
A．B．
C．D．
1．已知，，，则的最大值为
A．1B．
C．D．
2．若直线过点，则的最小值等于
A．3B．4
C．D．
3．已知，则的最小值是
A．2B．3
C．4D．5
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
5．已知正数满足，则
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值10D．有最小值10
6．已知，则取到最小值时，
A．B．
C．D．
7．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是
A．30 mB．36 m
C．40 mD．50 m
8．下列式子的最小值等于4的是
A．B．，
C．，D．
9．已知，，满足，则的最小值是
A．B．
C．D．
10．中，角的对应边分别为，若成等差数列，则角的取值范围是
A．B．
C．D．
11．已知，则的最小值为
A．B．6
C．D．
12．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．
13．已知正数、满足，则的最大值为__________．
14．已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为________.
15．设实数满足条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为________.
16．已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若，令，求函数的最小值.
17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（2018天津理科）已知，且，则的最小值为 .
3．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．
4．（2018江苏）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．
5．（2019年高考天津卷理数）设，则的最小值为__________．
6．（2017年高考天津卷理数）若，，则的最小值为___________．
变式拓展
1．【答案】−3 2
【解析】因为，
又，所以，当且仅当时取等号.
此时.
即的最大值为，此时.
【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果.
2．【答案】（1），；（2）当时，总造价最低为元.
【解析】（1）由矩形的长为m，得矩形的宽为m，
则中间区域的长为m，宽为m，
则，定义域为.
整理得，.
（2），
当且仅当，即时取等号.
所以当时，总造价最低为元.
【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.
（1）根据题意得矩形的长为m，则矩形的宽为m，中间区域的长为m，宽为m，列出函数关系式即可.
（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可.
3．【答案】B
【解析】等价于，
而
，
当且仅当，即时取等号，
故得到，则的最大值是3.
故答案为B.
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
4．【答案】A
【解析】由题意得，因为，为正实数，则，
当且仅当，即时取等号.
所以选择A.
【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出的最大值.
2．【答案】C
【解析】将代入直线方程得到，
，
当时等号成立.
故选C.
【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.
3．【答案】D
【解析】由题意知，，
因为，所以，
则（当且仅当，即时取“=”），
故的最小值是5.
故答案为D.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题.
4．【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∵当时，不等式恒成立，
∴只需．
故选A．
【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出，属于一般题.
5．【答案】A
【解析】由不等式的性质有：（）2，
当且仅当时等号成立，即（）2≤50，
又m＞0，n＞0，
所以，即m，
故选A．
【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题.
6．【答案】D
【解析】由，可得，且.
所以，
当且时等号成立，解得.
所以取到最小值时.故选D.
【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.
7．【答案】C
【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：（当且仅当，即时取等号），故本题选C.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键.
8．【答案】C
【解析】选项A，设，当时，，当且仅当时，取等号；
当时，，当且仅当时，取等号，故函数没有最小值；
选项B，，令，，函数在时单调递减，故当时是单调递减函数，所以，没有最小值；
选项C，，当且仅当时取等号，故符合题意；
选项D，令，令，而函数在时是单调递增函数，故当时，函数也单调递增，所以，不符合题意，
所以本题选C.
【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等.
9．【答案】D
【解析】正实数，满足，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
故选D.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是，使它能利用基本不等式，是基础题目．
10．【答案】C
【解析】由成等差数列，可得，即，
则（当且仅当时取等号）；
由于在三角形中，且在上为减函数，所以角的取值范围是：.
故选C.
【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由成等差数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后，利用基本不等式即可求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角的取值范围.
11．【答案】B
【解析】∵，∴，
∵，，
∴，当且仅当，即时等号成立.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证.
12．【答案】
【解析】∵实数是与的等比中项，
，即．
则，当且仅当，即时取等号．
故答案为:．
【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.
13．【答案】
【解析】，，
当即时等号成立.
故答案为.
【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.
14．【答案】
【解析】圆可化为，
则圆心为，半径为，
又因为直线被圆截得的弦长为，
所以直线过圆心，即，化为，
，当且仅当，即时取等号，
的最大值为，故答案为.
【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.
15．【答案】
【解析】由可行域可得，当，时，目标函数取得最大值，，即，.当且仅当，即时取等号，
故答案为.
【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式.
16．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）①当时，不等式的解集为，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为.
（2）当时，令（当且仅当，即时取等号）.
故函数的最小值为.
【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.
17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）．
【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，
则，
．
当且仅当，即时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．
（2）由题意可得，对任意的恒成立．
即，从而恒成立，
令，则，
又在时为单调增函数，故．
所以．
【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
（1）设甲工程队的总造价为元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；
（2）由题意可得，对任意的恒成立，从而恒成立，求出左边函数的最小值即得解.
直通高考
1．【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
2．【答案】14
【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，
因为对于任意x，2x>0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b≥2×2a×2-3b=2×2-6=14.当且仅当2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1时等号成立.
综上可得2a+18b的最小值为14.
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：
①，当且仅当时取等号；
②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．
3．【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
4．【答案】9
【解析】由题意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°，化简得ac=a+c,1a+1c=1，
因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac≥5+2ca⋅4ac=9,
当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.
5．【答案】
【解析】方法一：.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
6．【答案】
【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．
【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．