第三章 第五节 利用导数证明不等式原卷版

这是一份第三章 第五节 利用导数证明不等式原卷版，共31页。
考点一．构造函数法证明不等式
例1.设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡x，其中 a∈R．g(x)=1x−1ex−1
(1) 讨论 f(x) 的单调性；
(2) 证明：当 x>1 时，g(x)>0；
(3) 确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x) 在区间（1,+∞）内恒成立．
变式1.已知函数f(x)=12x2+ln⁡x．求证：在区间[1,+∞)上，函数f(x)的图像在g(x)=23x3的图像下方．
例2.设函数 f(x)=ln⁡x−x+1．
(1) 讨论 f(x) 的单调性；
(2) 证明当 x∈(1,+∞) 时，1cx．
变式2.已知函数f(x)＝1－eq \f(ln x,x)，g(x)＝eq \f(ae,ex)＋eq \f(1,x)－bx(e为自然对数的底数)，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥eq \f(2,x).
考点二.隔离审查分析法证明不等式
例1. 已知函数f(x)＝ex2－xln x．求证：当x＞0时，f(x)＜xex＋eq \f(1,e).
变式1. (2019·福州期末)已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0.
考点三．放缩法证明不等式
例3.已知函数f(x)＝ax－ln x－1.
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；
(2)求证：eq \f(e－x,x)＋x＋ln x－1≥0；
(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xln x恒成立，求k的取值范围．
变式1. (2019·长春质检)已知函数f (x)＝ex－a.
(1)若函数f (x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；
(2)若f (x)－ln x>0恒成立，求整数a的最大值．
四．破解含双参不等式的证明
例1.已知函数f(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥eq \f(\r(5)－1,2).
变式1.已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(a,x).
(1)求f(x)的最小值；
(2)若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(x1＜x2)，求证：x1＋x2＞2a.
例2.已知函数 f(x)=lnxx．
(1) 若关于 x 的不等式 f(x)⩽m 恒成立，求实数 m 的最小值；
(2) 对任意的 x1，x2∈(0,2)，已知存在 x0∈(x1,x2)，使得 f′(x0)=f(x2)−f(x1)x2−x1，求证：x0