人教版数学九年级上册月考模拟试卷11（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷11（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程x2=2x的根是（ ）
A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2
2．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12B．9C．4D．3
3．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1B．C．2D． +1
4．若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（ ）
A．B． C．D．
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A．2B．3C．1D．4
7．某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（ ）
A．8B．9.5C．10D．11.5
9．如图，在△ABC中，EF∥BC， =，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9B．10C．12D．13
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，DC上，且△BEF为等边三角形，下列结论：
①DE=DF；②∠AEB=75°；③BE=DE；④AE+FC=EF．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 ．
12．已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，且+=3，则k的值为 ．
13．已知：x：y：z=2：3：4，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为4的正方形，M（4，m）、N（n，4）分别是AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，m+n= ．
三.解答题
15．解方程
（1）x2﹣2x﹣2=0； （2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
16．先化简再求值：（1+）÷，其中x是方程x2﹣3x=0的根．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
18．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．
20．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
21．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字、、1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1、3、2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；
（2）现制定一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请用概率知识解释．
22．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ， ）．
23．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距离路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点（B点在A点的左边）时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
24．正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若正方形边长为4，AH=，求△AGD的面积．
25．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，请直接写出的值．

参考答案
1．一元二次方程x2=2x的根是（ ）
A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．
【解答】解：∵x2=2x，
∴x2﹣2x=0，
∴x（x﹣2）=0，
∴x=0或x﹣2=0，
∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．
故选C．

2．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12B．9C．4D．3
【考点】利用频率估计概率．
【分析】摸到红球的频率稳定在25%，即=25%，即可即解得a的值．
【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴=25%，
解得：a=12．
故本题选A．

3．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1B．C．2D． +1
【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=．
故选：B．

4．若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】比例的性质．
【分析】由a、b、c、d是互不相等的正数，且，根据比例的性质，即可求得∴，，正确，利用排除法，即可求得答案．
【解答】解：∵，
∴，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
故选D．

5．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】延长FO，交BC于点G．由平行四边形的性质得出OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，根据ASA证明△DOE≌△BOG，得出DE=BG．再由AE∥BG，得出△AEF∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例得出==，设AE=2x，则BG=5x，DE=BG=5x，根据AE+DE=AD=4，求出x=，那么AE=2x=．
【解答】解：如图，延长FO，交BC于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴=，即==，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=，
∴AE=2x=．
故选C．

6．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A．2B．3C．1D．4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】首先利用因式分解法求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解，再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值．
【解答】解：∵方程（x﹣1）（x﹣4）=0，
∴此方程的解为x1=1，x2=4，
∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，
∴把x1=1代入方程得：a+b+c=3，
故选B．

7．某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，
所以恰好抽到1班和2班的概率==．
故选B．

8．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（ ）
A．8B．9.5C．10D．11.5
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴AD=FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD=DF=9；
∵AB=BE=6，
∴CF=3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2，
又BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．

9．如图，在△ABC中，EF∥BC， =，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9B．10C．12D．13
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可．
【解答】解：∵=，
∴==，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴==，
∴9S△AEF=S△ABC，
∵S四边形BCFE=8，
∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=9．
故选A．

10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，DC上，且△BEF为等边三角形，下列结论：
①DE=DF；②∠AEB=75°；③BE=DE；④AE+FC=EF．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据等腰直角三角形的性质可判断③的正误，根据线段垂直平分线的知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，
∵在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=CF，
∵AD=DC，
∴AD﹣AE=CD﹣CF，
∴DE=DF，
∴①正确；
∵DE=DF，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠BEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②正确；
∵BE=EF=DE，
∴③正确；
如图，连接BD，交EF于G点
∴BD⊥EF，且BD平分EF，
∵∠CBD≠∠DBF，
∴CF≠FG，
∴AE+FC≠EF．
∴④错误；
故选C．

二、填空题（每题3分，共12分）
11．从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 ．
【考点】概率公式．
【分析】由从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，即：、π；
∴抽取到无理数的概率为： =．
故答案为：．

12．已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，且+=3，则k的值为 ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把+=3转换为=3，然后利用前面的等式即可得到关于k的方程，解方程即可求出结果．
【解答】解：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵+==3，
∴=3，
∴k=﹣2．
故答案为：﹣2．

13．已知：x：y：z=2：3：4，则的值为 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】由已知的比例式，设每一份为k，表示出x，y及z，将表示出的x，y及z代入所求的式子中，化简后即可得到值．
【解答】解：由x：y：z=2：3：4，可设x=2k，y=3k，z=4k，
∴===．
故答案为：．

14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为4的正方形，M（4，m）、N（n，4）分别是AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，m+n= 5 ．
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】证明△OCN∽△NBM，列比例式得：m==（n﹣2）2+3，即当n=2时，m有最小值为3，在Rt△OAM中，因为OA是定值，AM的大小决定OM的大小，由m的最小值计算OM的最小值．
【解答】解：由题意得：OA=4，AM=m，OC=4，CN=n，BN=4﹣n，BM=4﹣m，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=∠ABC=90°，
∴∠CNO+∠CON=90°，
∵ON⊥MN，
∴∠ONM=90°，
∴∠CNO+∠MNB=90°，
∴∠CON=∠MNB，
∴△OCN∽△NBM，
∴，
∴=，
m==（n﹣2）2+3，
即当n=2时，m有最小值为3，
在Rt△OAM中，OA是定值，AM的大小决定OM的大小，
当AM为最小时，OM为最小，
∴当AM=m=3时，OM最小，此时m+n=3+2=5，
故答案为：5．

三.解答题（共11小题，计78分，解答时应有必要步骤）
15．解方程
（1）x2﹣2x﹣2=0；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）先利用配方法得到（x﹣1）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x=2，
x2﹣2x+1=3，
（x﹣1）2=3，
x﹣1=±，
所以x1=1+，x2=1﹣；
（2）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，
x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，
所以x1=3，x2=9．

16．先化简再求值：（1+）÷，其中x是方程x2﹣3x=0的根．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=÷=•=x+1，
由x2﹣3x=0，解得：x1=3，x2=0（舍去），
当x=3时，原式=3+1=4．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴=．
∵AB=10，BC=12，
∴=，
∴BP=．

18．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【考点】比例线段．
【分析】（1）利用a：b：c=3：2：6，可设a=3k，b=2k，c=6k，则3k+2×2k+6k=26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，即x2=4×6，然后根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，
∴设a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2=ab，
∴x2=4×6，
∴x=2或x=﹣2（舍去），
即x的值为．

19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB=AC（已知），
∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”性质），
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．

20．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 24﹣3x 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
【解答】解：（1）设宽AB为x，
则长AD=BC=22﹣3x+2=（24﹣3x）米；
（2）由题意可得：（22﹣3x+2）x=45，
解得：x1=3；x2=5，
∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去，
当AB=5时，BC=9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．

21．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字、、1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1、3、2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；
（2）现制定一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请用概率知识解释．
【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果；
（2）∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=1，b=3时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=2时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△＞0）=，P（乙获胜）=1﹣=，
∴P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．

22．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ﹣2 ， ﹣1 ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ﹣ ， ﹣ ）．
【考点】作图﹣位似变换．
【分析】（1）利用位似图形的性质进而得出△A′B′C′各顶点的位置，进而得出答案；
（2）利用所画图形，得出点B′的坐标；
（3）利用位似图形的性质得出点的坐标变化规律即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（ 2）点B′的坐标为：（﹣2，﹣1）；
故答案为：﹣2，﹣1．
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为：（﹣，﹣）．
故答案为：﹣，﹣．

23．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距离路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点（B点在A点的左边）时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【分析】由题意得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，即可由相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴=，
即=，
解得，MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了，变短了5﹣1.5=3.5（米）．

24．正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若正方形边长为4，AH=，求△AGD的面积．
【考点】正方形的性质；垂线；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．
【分析】（1）易得∠1=∠3，这两个三角形中都有一个角是直角，加上正方形的边长相等，利用角边角可得这两个三角形全等；
（2）求得DG的长就可以求得△AGD的面积．易得F为CD的中点，延长BF交AD的延长线于点M，可构造出△BCF≌△MDF，那么可得DM=BC=AD，就可以求得GD的长，也就求得了△AGD的面积．
【解答】证明：（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又AE⊥BF，
∴∠3+∠2=90°，
则∠1=∠3
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（ASA）
（2）延长BF交AD延长线于M点，
∴∠MDF=90°
由（1）知△ABE≌△BCF，
∴CF=BE
∵E点是BC中点，
∴BE=BC，即CF=CD=FD，
在△BCF和△MDF中，
∴△BCF≌△MDF（ASA）
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点
又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，
∴GD=AM=AD
又∵正方形边长为4，
∴GD=4
S△AGD=GD•AH=×4×=．

25．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，请直接写出的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；
（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH，则问题得证；
（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，
，
∴△FED≌△GEB（ASA），
∴EF=EG；
（2）解：成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴在Rt△FEP与Rt△GEH中，，
∴△FEP≌△GEH（AAS），
∴EF=EG；
（3）解：如图3，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴=， =，
∴=，即===．
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴=，
∴=．

2017年3月10日