人教版数学九年级上册月考模拟试卷七（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷七（含答案），共30页。试卷主要包含了16平方根是，抛物线y=，已知函数y=等内容，欢迎下载使用。
人教版数学九年级上册月考模拟试卷
一．选择题
1．16平方根是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8
2．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
3．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0 C．x2=1 D．x2+1=0
5．如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）

A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x+3
6．直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A． B．5 C． D．7
7．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y=320（x﹣1） B．y=320（1﹣x）
C．y=160（1﹣x2） D．y=160（1﹣x）2
8．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
9．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．48 C．24或8 D．8
10．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．

二．填空题
11．已知（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　（用“＜”连接）．
12．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为　 　．
13．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　 　．
14．已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为　 　．

16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0； ③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有　 　．

三、解答题
17．解方程
（1）x2﹣4x=0 （2）2x2+3=7x



18．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．





19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案．





20．某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．









21．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得+=1？请说明理由．













22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．






23．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料．
（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值．










24．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．
（1）∠PBD的度数为　 　，点D的坐标为　 　（用t表示）；
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．


25．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）
（1）求a的值；
（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；
（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题
1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；
2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

　
参考答案
1．16平方根是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8
【分析】依据平方根的定义和性质求解即可．
【解答】解：16平方根是±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
2．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．
故选：C．
【点评】注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
3．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0 C．x2=1 D．x2+1=0
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其为零的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵△=22﹣4×1×0=4＞0，
∴一元二次方程x2+2x=0有两个不相等的实数根；
B、原方程可变形为x2﹣2x+1=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴一元二次方程（x﹣1）2=0有两个相等的实数根；
C、原方程可变形为x2﹣1=0，
∵△=02﹣4×1×（﹣1）=4＞0，
∴一元二次方程x2=1有两个不相等的实数根；
D、∵△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1=0没有实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
5．如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）

A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x+3
【分析】先利用抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可设交点式为y=a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值即可．
【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y=a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），
解得：a=1，
所以解析式为：y=x2﹣2x﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
6．直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A． B．5 C． D．7
【分析】设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边．
【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），由题意，得
x（7﹣x）=6，
解得：x1=3．，x2=4，
由勾股定理，得
斜边为： =5．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用．列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据面积公式建立方程求出直角边是关键．
7．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y=320（x﹣1） B．y=320（1﹣x）
C．y=160（1﹣x2） D．y=160（1﹣x）2
【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1﹣x）（1﹣x），由此即可得到函数关系式．
【解答】解：第一次降价后的价格是160（1﹣x），
第二次降价为160（1﹣x）×（1﹣x）=160（1﹣x）2
则y与x的函数关系式为y=160（1﹣x）2．
故选：D．
【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数．
8．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，
△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．
故选：B．
【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．
9．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24 B．48 C．24或8 D．8
【分析】先利用因式分解法解方程得到所以x1=6，x2=10，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，利用勾股定理计算出AD=2，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．
【解答】解：x2﹣16x+60=0
（x﹣6）（x﹣10）=0，
x﹣6=0或x﹣10=0，
所以x1=6，x2=10，
当第三边长为6时，如图，
在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD===2，
所以该三角形的面积=×8×2=8；
当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积=×8×6=24，
即该三角形的面积为24或8．
故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
10．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C．
【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
　
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．已知（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y1＜y2＜y3　（用“＜”连接）．
【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解．
【解答】解：x=﹣1时，y1=2×（﹣1）2=2，
x=2时，y2=2×22=8，
x=﹣3时，y3=2×（﹣3）2=18，
所以，y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关键．
12．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为　x（x﹣1）=90　．
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，
x（x﹣1）=90．
故答案为：x（x﹣1）=90．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
13．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　6　．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣5）2﹣4k＞0，
解得k＜，
所以k可取的最大整数为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　﹣3≤y≤5　．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y=2（x+1）2﹣3，
∴该函数对称轴是直线x=﹣1，当x=﹣1时，取得最小值，此时y=﹣3，
∵点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，
∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，
故答案为：﹣3≤y≤5．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为　2　．

【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标相同，则y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．
【解答】解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABO+∠CBG=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBG=∠OAB，
∵∠AOB=∠BGC=90°，
∴△AOB≌△BGC，
∴BG=OA=2，CG=OB=1，
∴C（3，1），
同理得：△BCG≌△CDH，
∴CH=BG=2，DH=CG=1，
∴D（2，3），
∵C在抛物线的图象上，
把C（3，1）代入函数y=x2+bx﹣1中得：b=﹣，
∴y=x2﹣x﹣1，
设D（x，y），
由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y=3，
当y=3时， x2﹣x﹣1=3，
解得：x1=4，x2=﹣3（舍），
∴DD′=4﹣2=2，
则点D与其对应点D′间的距离为2，
故答案为：2．

【点评】本题考查出了二次函数图象与几何变换﹣﹣平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D′的纵坐标相同是关键．
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0； ③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有　③④　．

【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c=0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．
【解答】解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：x=﹣＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
∴﹣=1，
∴b+2a=0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a﹣b+c=0，
∴c=b﹣a，
∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，
又由①得b=﹣2a，
∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：③④两个．
故答案为：③④．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
　
三、解答题（共102分）
17．（10分）解方程
（1）x2﹣4x=0
（2）2x2+3=7x
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x（x﹣4）=0，
x=0或x﹣4=0，
所以x1=0，x2=4；
（2）2x2﹣7x+3=0，
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
2x﹣1=0或x﹣3=0，
所以x1=，x2=3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（8分）已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．
【分析】将x1=﹣1代入方程可得关于m的方程，解之求得m的值，即可还原方程，解之得出另一个根．
【解答】解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m﹣5=0，
解得m=﹣4；
当m=﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5=0
解得：x1=﹣1，x2=5
所以方程的另一根x2=5．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方程的解的定义求得m的值．
19．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案．
【分析】（1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（0，﹣2）代入求出a即可；
（2）2（x﹣1）2﹣4=0得抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣，0），（1+，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣2）代入得a（0﹣1）2﹣4=﹣2，解得a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）2﹣4；
（2）当y=0时，2（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=1﹣，x2=1+，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣，0），（1+，0），
∴当x＜1﹣或x＞1+时，y＞0，
即当x＜1﹣或x＞1+时，该二次函数的图象在横轴上方．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
20．（10分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
【分析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值．
【解答】解：设销售价每件定为x元，则每件利润为（x﹣8）元，销售量为[100﹣10（x﹣10）]，
根据利润=每件利润×销售量，
可得销售利润y=（x﹣8）•[100﹣10（x﹣10）]=﹣10x2+280x﹣1600=﹣10（x﹣14）2+360，
∴当x=14时，y的最大值为360元，
∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元．
【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．
21．（8分）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得+=1？请说明理由．
【分析】（1）根据“关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根”，判别式△≥0，得到关于m的一元一次方程，解之即可，
（2）根据“+=1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0是一元二次方程，
∴m≠0，
△=（2m﹣2）2﹣4m2
=4m2﹣8m+4﹣4m2
=4﹣8m≥0，
解得：m，
即m的取值范围为：m且m≠0，
（2）+==﹣2=1，
x1+x2=，x1x2=1，
把x1+x2=，x1x2=1代入﹣2=1得：
=3，
解得：m=4±2，
∵m的取值范围为：m且m≠0，
∴m=4±2不合题意，
即不存在实数m，使得+=1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式△≥0，列出关于m的一元一次方程，（2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程．
22．（8分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．

【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．
（1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．
【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：
以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．
设这条抛物线的表达式为y=a（x﹣4）（x+4）．
∵抛物线经过点C，
∴﹣16a=6．
∴a=﹣
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．

（2）当x=1时，y=，
∵4.4+0.5=4.9＜，
∴这辆货车能安全通过这条隧道．

【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料．
（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值．

【分析】（1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意．
【解答】解：（1）设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，
x（50﹣2x）=300，
解得，x1=10，x2=15，
当x1=10时50﹣2x=30＞25（不合题意，舍去），
当x2=15时50﹣2x=20＜25（符合题意），
答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米；
（2）设AB为xm，矩形花园的面积为ym2，
则y=x（50﹣2x）=﹣2（x﹣）2+，
∴x=时，此时y取得最大值，50﹣2x=25符合题意，此时y=，
即当砌墙BC长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（10分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．
（1）∠PBD的度数为　45°　，点D的坐标为　（t，t）　（用t表示）；
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

【分析】（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．
（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．
（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图1，
由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ．
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴点D坐标为（t，t）．
故答案为：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，则t=0，符合题意
②若EB=EP，
则∠PBE=∠BPE=45°．
∴∠BEP=90°．
∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．
在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB（AAS）．
∴OE=CB=OC．
∴点E与点C重合（EC=0）．
∴点P与点O重合（PO=0）．
∵点B（﹣4，4），
∴AO=CO=4．
此时t=AP=AO=4．
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=4﹣t．
∵∠POE=90°，
∴PE=
=（4﹣t）．
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴（4﹣t）=2t．
解得：t=4﹣4
∴当t为0秒或4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．

（3）∵EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8．
∴△POE周长是定值，该定值为8．


【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．
25．（10分）已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）
（1）求a的值；
（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；
（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题
1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；
2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求a的值；
（2）设点P（a， a2﹣1），根据两点距离公式可求PQ，PO的长度，即可证PQ=PO；
（3）1．由（2）可得OB=BN，AM=AO，即可求∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据三角形内角和定理可求OM⊥ON；
2．过点F作EF⊥直线l，由（2）得OF=EF，当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，即可求FD+FO的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）
∴0=4a﹣1
∴a=
（2）∵a=
∴抛物线解析式：y=x2﹣1
设点P（a， a2﹣1）
∴PO==a2+1
PQ=a2﹣1﹣（﹣2）=a2+1
∴PO=PQ
（3）1．由（2）可得OA=AM，OB=BN
∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴AM∥BN
∴∠ABN+∠BAM=180°
∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180°
∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360°
∴∠BON+∠AOM=90°
∴∠MON=90°
∴OM⊥ON
2．如图：过点F作EF⊥直线l，

由（2）可得OF=EF，
∵OF+DF=EF+DF
∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．
即此时DE⊥直线l
∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．
【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键．