第四章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式原卷版

这是一份第四章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式原卷版，共31页。
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β(异名相乘、加减一致)；
(2)cs(α∓β)＝cs αcs β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β)(两式相除、上同下异)．
(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如：eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α
＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
[熟记常用结论]
1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
2．降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α.
3．升幂公式：1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)；1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2；1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
课前检测
1.计算 sin⁡43∘cs⁡13∘−cs⁡43∘sin⁡13∘ 的结果等于( )
A．12B．33
C．22D．32
2.【2020年湖北武汉武汉中学高三下学期月考数学试卷（2020届湖北省武汉中学高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题）】在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin⁡α=13，则 cs⁡(α−β)=________．
3.【2020年浙江杭州杭州第十一中学高一上学期期末考试数学试卷】已知 α∈(0,π)，cs⁡α=−13，则 sin⁡(α+π4)=________．
4.【2020年云南昆明官渡区昆明市官渡区第一中学高一下学期开学考试数学试卷】若 tan⁡α=13，tan⁡(α+β)=12，则 tan⁡β=( )
A．17B．16
C．57D．56
5．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)
B．cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)
D．cs eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)
6．化简：eq \f(cs 40°,cs 25°·\r(1－sin 40°))＝ .
7．化简：eq \f(2sinπ－α＋sin 2α,cs2 \f(α,2))＝ .
8．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则tan 2θ＝ .
课中讲解
考点一．公式的直接应用
例1.已知 0b D．a>c>b
多选题
8．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs(－15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°－105°)＝0
C．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝eq \f(1,2)
填空题
9.若等式 cs⁡x⋅cs⁡y=cs⁡(x+y) 成立，则 x，y 应满足的条件为___________________________．
10.
(1) cs⁡(α−35∘)cs⁡(25∘+α)+sin⁡(α−35∘)sin⁡(25∘+α)=________ ；
(2) cs⁡43∘cs⁡77∘+sin⁡43∘cs⁡167∘=________ ．
11．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
12．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1,4)，则sin4θ＋cs4θ的值为 ．
13．已知sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝eq \f(3,5)，β是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(5π,4)))＝ .
14. cs⁡27π+cs⁡47π+cs⁡67π= ________．
解答题
15．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
16.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．