第五章 第四节 平面向量的综合问题解析版-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习

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例1.已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－eq \r(3))，x∈[0，π]．
(1)若a∥ b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解 (1)因为a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－eq \r(3))，a∥b，
所以－eq \r(3)cs x＝3sin x.
若cs x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cs2x＝1矛盾，
故cs x≠0.
于是tan x＝－eq \f(\r(3),3).
又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(5π,6).
(2)f(x)＝a·b＝(cs x，sin x)·(3，－eq \r(3))
＝3cs x－eq \r(3)sin x＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
从而－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2).
于是，当x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋eq \f(π,6)＝π，即x＝eq \f(5π,6)时，f(x)取到最小值－2eq \r(3).
[方法技巧] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
变式1. 已知的面积为，且.
（1）求；
（2）若，，求.（2015届镇江期末15）
【答案】（1） ∵△的面积为，且
∴，
∴
∴为锐角，且，
∴．
（2）设△中角对边分别为
∵，，
由正弦定理得：，即
∴，又∵,则锐角，∴，
∴= ．
例2. 已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是_________.
【答案】
变式2. 在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是__________.
【答案】
考点二.与圆的综合问题
例1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
． 若点为边上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形中，，，
所以，，，设,，
所以，，
因为，所以，
即，解得，即，
因为在上，所以，由，得，即，
因为，，
所以
，令，．
因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A．
变式1．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，
所以，
当时，所求的最小值为，故选B。
例2.如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 eq \f(1,4)
解析 方法一 由题设可知AB＝BC＝BN＝1.
因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，若设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.
如图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(－1,0)，M(－sin2θ，sin θcs θ)，C(1,0)，N(cs θ，sin θ)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(－sin2θ＋1，sin θcs θ)＝(cs2θ，sin θcs θ)，eq \(CN,\s\up6(→))＝(cs θ－1，sin θ)．
于是，eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝cs2θ·(cs θ－1)＋sin2θcs θ
＝cs3θ－cs2θ＋(1－cs2θ)cs θ
＝－cs2θ＋cs θ＝eq \f(1,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－\f(1,2)))2.
又易知0