初中数学2.5 有理数的乘方精品同步练习题

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2.5有理数的乘方同步练习浙教版初中数学七年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若，且，则下列式子成立的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，相等的一组是

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

3. 在代数式；；；；为有理数中，值一定为正数的代数式的个数为

A.  个 B. 个 C.  个 D. 个

4. 下面各组数中相等的一组是

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

5. 一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第次剪完后剩下绳子的长度是

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的有    

平方等于本身的数是和；一定是负数；

若和，则；若，则或．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 下列说法正确的个数有

有理数不是整数就是分数；一定是正数；

如果大于，那么的倒数小于的倒数；个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；如果，那么；如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 用科学记数法表示，其结果是

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法中，正确的个数有

相反数等于本身的数只有；绝对值等于本身的数只有正数；倒数等于本身的数只有；

平方等于本身的数只有和；立方等于本身的数只有和。

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 下列计算错误的有   

．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第次剪完后剩下绳子的长度是

A.  B.  C.  D.

12. 下列各组数中，互为相反数的是   

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 计算______．
14. 如图是一个简单的数值计算程序，当输入的的值为时，则输出的结果为_________．
15. 计算：          ，          ，          ，          ，          ．
16. 年月日，第三届数字中国建设峰会在福州落幕，据初步统计，本届峰会签约的总投资额大约为元，将数据用科学记数法表示，其结果是______．
17. 已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，、之间的距离记作，定义：

线段的长；

设点在数轴上对应的数为，当时，；

若点在的左侧，、分别是、的中点，当在的左侧移动时的值不变；

在的条件下，的值不变

以上结论中正确的是_____填上所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
    
    ______，______，______，______．
    若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒：
    当时，则______，______；
    当时，则______，______．
    请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：．
    因为，
    所以．
    当时，，
    因此有最小值，即的最小值为．
    通过阅读，解下列问题：
    代数式的最小值为______ ；
    求代数式的最大或最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，．
    求的值用含有的式子表示；
    若，，请比较的值与之间的大小关系，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 请把下列数在数轴上表示出来，并用“”将原数连接．

，，，，，






 

22. 如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足．

点表示的数为          ，点表示的数为          ．

设点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为若在数轴上存在一点，使，则点表示的数为          ．

若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以每秒个单位长度的速度向左运动同时另一小球乙从点处以每秒个单位长度的速度也向左运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看为一点以原来的速度向相反的方向运动设运动的时间为秒，请用含的代数式分别表示出甲、乙两小球到原点的距离．






 

23. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题．

小明在学习完全平方公式时，代数式的值具有非负性即该式的值总是正数或者的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式的最小值时，我们可以这样处理：

解：

．

因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为，当时，的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是．

解决问题：

请根据上面的解题思路探求：多项式的最小值是多少，并写出此时的值；

请根据上面的解题思路探求：多项式的最大值是多少，并写出此时的值．






 

24. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
    利用“配方法”分解因式：．
    同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．
    试确定：多项式有最______值填大或小为______．
    已知是实数，试比较与的大小，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
25. 若，求的值．
    观察下列等式：
    ，，，，，
    想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？
    探索上面式子的规律，试用含的式子表示第个等式；
    请你用可能出现的第六个等式进行验证．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，且，
，
则，此选项正确；
B.，此选项错误；
C.，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：．
先根据，且知，再根据有理数的乘方、加减和除法法则计算可得．
本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方、加减和除法法则．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，，，故本选项错误；
B、，，，故本选项错误；
C、，，，故本选项正确；
D、，，，故本选项错误。
故选：。
根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解。
本题考查了绝对值、有理数的乘方。解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则，要注意与的区别。
 

3.【答案】
 

【解析】解：值不一定是正数；
值不一定是正数；
时，，既不是正数也不是负数；
值一定是正数；
为有理数值一定是正数，
综上所述，值一定是正数的代数式有个．
故选：．
根据平方数非负数和绝对值非负数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了偶次方非负数和绝对值非负数的性质，此类题目，可以利用举特殊例子排除法求解．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，，，故本选项错误；
B、，，故本选项错误；
C、，，，故本选项错误；
D、，，故本选项正确。
故选：。
根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质，相反数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解。
本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意书写规范。
 

5.【答案】
 

【解析】解：第一次剪去绳子的，还剩；
第二次剪去剩下绳子的，还剩，

第次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为；
故选：．
根据有理数的乘方的定义解答即可．
本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查绝对值的知识，乘方的知识，相反数是知识，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
根据相关知识，逐一判断，即可．
【解答】
解：平方等于本身的数是和；正确；
一定是负数；错误；若，则是正数；

若和，则；错误，当时，，则
若，
则，，有一个负数，个正数或三个都是负数；
当，，有一个负数，个正数时，；
当三个都是负数时则
则正确；
故选C

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是有理数，绝对值，倒数，有理数的乘法，有理数的乘方，相反数有关知识，利用有理数，绝对值，倒数，有理数的乘法，有理数的乘方，相反数对所给的结论进行判断即可．
【解答】
解：有理数分为整数和分数，故正确；
当时，，一定是正数是错的，故错误
如果大于，那么的倒数不一定小于的倒数，例如：，但是没有倒数，不能说的倒数小于的倒数，故错误，
个数相乘，当有一个数为时，由有理数的乘法法则可知积为，积的符号就不是由负因数的个数决定，故错误，
如果，那么 或，故错误，
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数或相等，故错误，
共个正确．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题．
【解答】
解：用科学记数法表示，其结果是，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
根据相反数的定义，绝对值的性质倒数的定义和有理数的乘方对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：相反数等于本身的数是，正确；
绝对值等于本身的是正数和零，故本小题错误；
倒数等于本身的数是，正确；
平方等于本身的数是和，正确；
立方等于本身的数只有，，，故本小题错误；
综上所述，正确的有共个．
故选C  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方逐项计算并判定即可．
【解答】
解：，故本项正确；
，故本项错误；
，故本项错误；
，故本项错误；
，故本项正确；
，故本项正确．
错误的共个．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的乘方，数式规律问题的有关知识，理解乘方的意义是解题的关键．根据题意找出规律进行求解即可．
【解答】
解：第一次剪去绳子的，还剩；

第二次剪去剩下绳子的，还剩，

第次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为；

故选C．

12.【答案】
 

【解析】因为，，所以与互为相反数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
本题考查了积的乘方，利用积的乘方是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据如图简单的数值计算程序列出算式，把代入得：；继续把代入得：，即可求得最后输出结果．
【解答】
解：把代入得：；
把代入得：，
则输出的结果为．  

15.【答案】 

【解析】略
 

16.【答案】
 

【解析】解：用科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，
，，
，，
点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，
故正确；
设点在数轴上对应的数为，当时，在、之间，
，
，
故正确；
设点在数轴上对应的数为，

，
不正确，
的值不变，值为；
，
，
正确．
故答案为：．
根据非负数的和为，各项都为；应考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，确定当时的位置解题；利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．
本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
 

18.【答案】             
 

【解析】解：，是最小的正整数，
，，，，
故答案为：；；；．
当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．
当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，．
故答案为：；．
当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，．
故答案为：；．
，，
．
在运动过程中，的值会变化，其值为．
根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出、的值，再由是最小的正整数即可得出的值；
找出当运动时间为秒时，、、点表示的数．
代入，找出、、点表示的数，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
代入，找出、、点表示的数，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
根据两点间的距离公式用含的代数式表示出、的长，将其代入中即可得出结论．
本题考查了数轴、两点间的距离、列代数式、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：根据绝对值以及偶次方的非负性求出、值；用含的代数式表示出、、点表示的数．
 

19.【答案】
 

【解析】解：
，
当时，，
因此有最小值，即代数式的最小值为；
故答案是：．
，
由于，所以，
当时，，
则的最大值为；
原式配方变形后，利用非负数的性质即可求出最值；
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
；
，
，
；



；
当时，
，，
，
，
当时，
，，
，
．
 

【解析】把因式分解可得，再根据，进而可得的值
由可得，这是解决该题的关键性结论；故在分两种情况和讨论，即可解决问题．
本题主要考查了配方法的应用；解题的关键是牢固掌握因式分解的方法．
 

21.【答案】解：在数轴上表示如图所示：
  ，
用“”连接起来为：．
 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：，；
设点表示，由题意得，，
所以，或，
解得，或，
所以，点表示的数为或；
甲：小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动，
甲到原点的距离为，
小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，
乙到达原点的时间为，
当时，小球到原点的距离为，
当时小球到原点的距离为．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是数轴，绝对值的非法性，偶次方的非负性的有关知识．
根据非负数的性质列方程求出、的值，从而得解；
根据两点间距离的表示列出绝对值方程，然后求解即可；
甲小球根据数轴上的数向左减表示即可，乙小球分向左与向右移动两个部分分别列式表示即可．
【解答】
解：由题意得，，，
解得，，
所以，点表示，点表示；
故答案为，；
见答案；
见答案．  

23.【答案】解：
．
当时，原多项式的最小值是；


．
当时，原多项式的最大值是．
 

【解析】、利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．
本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
 

24.【答案】大 
 

【解析】解：


．



，
，
，
多项式有最大值为．
故答案为：大；．
．
理由：



，
．
根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后再利用平方差公式分解因式；
利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答；
两个式子作差然后与比较大小即可解答本题．
本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
 

25.【答案】解：因为，
所以，，
解得，，
所以；
由题目中的式子可得，
等式左边各项幂的底数之和与右边幂的底数相等；
由题目中的式子可得，
第个等式是：；
可能出现的第六个等式是：，
验证：左边，
右边，
因为左边右边，
所以成立．
 

【解析】根据非负性得出，的值，然后即可得到的值；
根据题目中的等式，可以发现等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系；
根据中的发现，可以写出第个等式；
根据中结果，可以写出可能出现的第六个等式，然后进行验证即可．
本题考查数字的变化类、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子．