初中沪科版第3章 一次方程与方程组3.1 一元一次方程及其解法精品练习题

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3.1一元一次方程及其解法【课后综合练】
-2021-2022学年七年级数学上册（沪科版）
一、选择题
1、下列方程：①2x+6＝7；②x﹣4＝；③x+0.3x＝4；④3x2﹣4x＝9；⑤x＝0；⑥3x﹣2y＝8；
⑦x＝1；⑧＝2中是一元一次方程的个数是（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2、已知是关于x的一元一次方程，则此方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3、下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4、下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为，得
B．方程，移项，得
C．方程，去括号，得
D．，去分母，得
5、解方程时，最简便的方法是先（ ）
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．化分数为小数
6、若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
7、若代数式和互为相反数，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
8、研究下面解方程的过程：
去分母，得， ①
去括号，得， ②
移项，得， ③
合并同类项，得， ④
系数化为1，得． ⑤
对于上面的解法，你认为（ ）
A．完全正确 B．变形错误的是① C．变形错误的是② D．变形错误的是③
9、解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
10、《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，则城中有多少户人家，若设城中有户人家，则可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11、已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是______
12、若关于x的方程的解是，则a的值等于___________．
13、已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为_________．
14、一元一次方程（x+1）–x–1=2017的解是x=__________．
15、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是小明翻看了书后的答案，此方程的解是y＝，则这个常数是_____
16、已知关于的方程与方程的解相同，求k的值=_____．
17、当x=__________时，代数式的值比的值的2倍小3？
18、我们规定：如果关于的一元一次方程（为常数，且）的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
（1）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则的值为____________；
（2）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则方程的解为____________；
19、规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
20、已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____．
三、解答题
21、解下列一元一次方程
（1） （2）





（3） （4）






（5） （6）







（7） （8）．







22、（1）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得；
去括号，得；
移项、合并同类项，得．
圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
（2）已知关于x的方程的解与方程的解相等，求m的值．














23、已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程的解．














24、已知“□－7＝△＋3”，其中□和△分别表示一个实数．
（1）若□表示的数是3，求△表示的数；
（2）若□和△表示的数互为相反数，求□和△分别表示的数；
（3）当□和△分别取不同的值时，在□与△的＋，－，×，÷，四种运算中，哪种运算的结果一定不会发生变化，请说明理由．














25、(1)当m为何值时，关于x的方程的解是关于x的方程的解的2倍？
（2）已知关于x的方程的解为整数，且k也为整数，求所有整数k的和．


















26、已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
（1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______；
（2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
















3.1一元一次方程及其解法【课后综合练】
-2021-2022学年七年级数学上册（沪科版）（解析）
一、选择题
1、下列方程：①2x+6＝7；②x﹣4＝；③x+0.3x＝4；④3x2﹣4x＝9；⑤x＝0；⑥3x﹣2y＝8；
⑦x＝1；⑧＝2中是一元一次方程的个数是（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【答案】解：①2x+6＝7、③x+0.3x＝4、⑤x＝0、⑦x＝1符合一元一次方程的定义；
②x﹣4＝、⑧＝2是分式方程；
④3x2﹣4x＝9是一元二次方程；
⑥3x﹣2y＝8是二元二次方程，
故选：C．

2、已知是关于x的一元一次方程，则此方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意易得，则有，进而原方程为，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：，
∴，
∴原方程为，解得：；
故选C．

3、下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
根据等式的基本性质可判断出选项正确与否．
【详解】
解：A、根据等式性质1，等式两边都减c，即可得到a-c=b-c；
B、根据等式性质2，等式两边都除以不等于0的数c2+1，即可得到；
C、根据等式性质2，等式两边都乘x，即可得到x2=2x；
D、根据等式性质2，两边都除以x时，需x≠0才可得到a=b；
故选：D．
4、下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，未知数系数化为，得
B．方程，移项，得
C．方程，去括号，得
D．，去分母，得
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐一判断求解即可得到答案.
【详解】解：A. 方程，未知数系数化为1，得，原选项计算错误，不符合题意；
B. 方程，移项得，原选项计算错误，不符合题意；
C. 方程，去括号，得，原选项计算错误，不符合题意；
D. 方程，去分母，得，正确，符合题意；故选D．


5、解方程时，最简便的方法是先（ ）
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．化分数为小数
【答案】C
【分析】
由于x-6的系数分母相同，所以可以把（x-6）看作一个整体，先移项，再合并（x-6）项．
【详解】
解：由方程的形式可得最简便的方法是先移项，
故选C．
6、若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
【答案】D
【分析】依次移项，合并同类项，系数化为1得到，先讨论m=-1，再讨论m≠1，解原方程，根据“方程解为整数”，得到列出几个关于m的一元一次方程，解之，求出m的值，相加求和即可得到答案．
【详解】
解：，
∴，
若m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去）；
若m≠-1，则，
∵解是整数，
∴x=1或-1或2或-2或4或-4或8或-8，
可得：m=7或-9或3或-5或1或-3或0或-2，
∴7-9+3-5+1-3+0-2=-8，
故选D．


7、若代数式和互为相反数，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相反数的定义，列出关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】
∵和互为相反数，
∴+=0，解得：x=，
故选D．


8、研究下面解方程的过程：
去分母，得， ①
去括号，得， ②
移项，得， ③
合并同类项，得， ④
系数化为1，得． ⑤
对于上面的解法，你认为（ ）
A．完全正确 B．变形错误的是① C．变形错误的是② D．变形错误的是③
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的解法逐步判断即可．
【详解】解：错在①，去分母后方程右边的第二个分子应该加上括号．
即．故选：B．


9、解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程．
【详解】解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1，解得：a=，
正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+）-6，去括号得：4x-2=3x+1-6，解得：x=-3．故选：A

10、《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，则城中有多少户人家，若设城中有户人家，则可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意列方程，即可完成求解．
【详解】
根据题意，每家取一头鹿，即x头鹿
∵每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完
∴每3家共取一头的鹿，数量为：
∴鹿的总数为
∵今有100头鹿进城
∴
故选：A．

二、填空题
11、已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是______
【答案】0
【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于m-1的绝对值的方程，利用绝对值的定义，解之，把m的值代入m-2，根据是否为0，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：
|m-1|=1，
整理得：m-1=1或m-1=-1，
解得：m=2或0，
把m=2代入m-2得：2-2=0（不合题意，舍去），
把m=0代入m-2得：0-2=-2（符合题意），
即m的值是0，

12、若关于x的方程的解是，则a的值等于___________．
【答案】2
【分析】
把x=-3代入方程计算即可求出a的值．
【详解】
解：把x=-3代入方程得：-6+a+4=0，
解得：a=2，
故答案为：2．

13、已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为_________．
【答案】3或7．
【分析】
解方程用含有k的式子表示x，再根据5除以几得正整数，求出整数k．
【详解】
解：，
解得，，
∵k为整数，关于x的方程的解为正整数，
∴k-2=1或k-2=5，
解得，k=3或k=7，
故答案为：3或7．

14、一元一次方程（x+1）–x–1=2017的解是x=__________．
【答案】﹣2019
【分析】把方程变形，提取出公因式求解即可.
【解析】




故答案为

15、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是小明翻看了书后的答案，此方程的解是y＝，则这个常数是_____
【答案】2
【分析】设所缺的部分为x，2y+＝y-x，把y=- 代入，即可求得x的值．
【详解】解：设所缺的部分为x， 则2y+＝y-x， 把y=- 代入， 求得x=2．
16、已知关于的方程与方程的解相同，求k的值=_____．
【答案】1
【分析】
先解方程，得，因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把代入方程中求出的值．
【详解】
解：

解得：．
把代入方程得：
，
，
解得：．
∴k的值为1.

17、当x=__________时，代数式的值比的值的2倍小3？
【答案】
【分析】
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
解：根据题意可列方程得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．

18、我们规定：如果关于的一元一次方程（为常数，且）的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
（1）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则的值为____________；
（2）若关于的一元一次方程是“和解方程”，则方程的解为____________；
【答案】
【分析】
（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得，代入即可求得x．
【详解】
（1）∵关于的一元一次方程是“和解方程”，
∴．
∴代入原方程得，
解得，
故填：；
（2）∵关于的一元一次方程是“和解方程“，
∴．
∴把代入原方程得，
∴，
故填：．

19、规定：用{}表示大于的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{}=，用[]表示不大于的最大整数，例如：[]=2，[]=，[]=．如果整数满足关系式2[]{}=29，那么=______．
【答案】
【分析】根据题意可将化为，解出即可．
【详解】解：由题意，得，，
∴可化为
合并同类项，得
解得： 故答案为：-8．

20、已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____．
【答案】2
【分析】根据已知条件得出方程y+1＝3，求出方程的解即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，解得：y＝2，故答案为：2．

三、解答题
21、解下列一元一次方程
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）．

【答案】（1）x=3.4；（2）x= （3）；（4）
（5）x=17；（6）x= （7）x= （8）
【分析】
（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此逐个方程求解即可．
（3）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程先变形，再去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（5）方程去括号后，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（6）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
（7）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（8）先把分母为小数的化为整数，然后再去分母进行求解即可．
【详解】
解：（1）去括号得：2-3x+15=2x，
移项合并得：5x=17，
解得：x=3.4；
（2）去分母得：，
去括号得：12-12+9x=10x+6-12x，
移项，合并同类项，得：11x=6，
解得：x=．
（3），
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（4）方程变形为：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
（5）去括号得：2x+16=3x-1，
移项合并得：-x=-17，
解得：x=17；
（6）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：x=．
（7）去分母得，2x-5（3-2x）=10，
去括号得，2x-15+10x=10，
移项得，2x+10x=10+25，
合并同类项得，12x=25，
系数化为1得，x=．
（8）
原方程化为，
去分母得：，
解得：．

22、（1）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得；
去括号，得；
移项、合并同类项，得．
圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
（2）已知关于x的方程的解与方程的解相等，求m的值．
【答案】（1）有错，过程见解析；（2）m=2
【分析】
（1）直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
（2）先求出第二个方程的解，即可求出x=-1，把x=-1代入第一个方程，再求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
去分母，得：3（x+1）-2（x-3）=6．
去括号，得3x+3-2x+6=6．
移项，合并同类项，得x=-3．
（2）解方程得：y=-1，
即方程的解为x=-1，
把x=-1代入方程得：m-2m=-2，
解得：m=2．

23、已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程的解．
【点拨】根据方程1可直接求出x的值，代入方程2可求出m，把所求m和x代入方程3，可得到关于y的一元一次方程，解答即可．
【解析】解：解方程2（x﹣1）+1＝x
得：x＝1
将x＝1代入3（x+m）＝m﹣1
得：3（1+m）＝m﹣1
解得：m＝﹣2
将x＝1，m＝﹣2代入
得：，
解得：．

24、已知“□－7＝△＋3”，其中□和△分别表示一个实数．
（1）若□表示的数是3，求△表示的数；
（2）若□和△表示的数互为相反数，求□和△分别表示的数；
（3）当□和△分别取不同的值时，在□与△的＋，－，×，÷，四种运算中，哪种运算的结果一定不会发生变化，请说明理由．
【答案】（1）－7 ；（2）□＝5，△＝－5；（3）减法，见解析
【分析】
（1）把□表示的数3代入，求△即可；
（2）因为□和△表示的数互为相反数，所以－□＝△ ，代入求出□即可；
（3）根据□－7＝△＋3，移项可得□－△＝3＋7＝10，即可得出结论．
【详解】
解：3－7＝△＋3
△＝－7
（2）当□和△表示的数互为相反数
－□＝△
□－7＝－□＋3
∴□＝5
△＝－5
（3）∵□－7＝△＋3
∴□－△＝3＋7＝10
∴减法运算的结果一定不会发生变化．

25、(1)当m为何值时，关于x的方程的解是关于x的方程的解的2倍？
（2）已知关于x的方程的解为整数，且k也为整数，求所有整数k的和．
【答案】（1）；（2）36
【分析】
（1）先求出两个方程的解，根据已知得出关于m的方程，求出方程的解即可．
（2）先解关于x的一元一次方程，再根据x、k都是整数确定出9-k的值，然后求解即可．
【详解】
解：（1）解方程4x-2m=3x-1得：x=2m-1，
解方程x=2x-3m得：x=3m，
要使方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍，必须2m-1=2•3m，
解得：m=，
即当m=时，关于x的方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍．
（2）移项得，9x-kx=17，
合并、系数为1得，x=，
∵x、k都是整数，
∴9-k=±1或±17，
∴k=8、10、-8、26，
∴所有整数k的和为8+10-8+26=36．

26、已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
（1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______；
（2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．

【答案】（1），；（2）能，-4或-2
【分析】
（1）根据题意路程=速度×时间得出结果；
（2）需要分类讨论：当点P在Q的左边和右边列出方程解答．
【详解】解：（1）PA=1·t= t；PC=（24+10）-t=， 故答案为：，；
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：
①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1），
则，，此时，解得
所以点所表示的数是-24+14+6=；

②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2），
则，， 此时，解得
点所表示的数是-24+14+8=．
综上，点开始运动后，两点之间的距离能为2个单位长度，点所表示的数为或．