高中4.5 函数的应用（二）课后复习题

这是一份高中4.5 函数的应用（二）课后复习题，文件包含函数的应用之零点问题同步练习原卷版docx、函数的应用之零点问题同步练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

1.【答案】 B
【解析】【解答】由题意，知函数 f(x) 是增函数并且是连接函数.
因为 f(1)=1−1e−4=−1e−3<0 ， f(2)=8−1e2−4=4−1e2>0 ，
所以 f(x) 的零点所在区间为 (1,2) .
故答案为：B.

【分析】根据零点存在定理，计算可得f(1)<0 ，f(2)>0即可判断得答案。
2.【答案】 B
【解析】【解答】当 x<0 时， f(x)>0 ，则 f(f(x))=f(−x+1)=(−x+1)2−3=x2−2x−2 ，
当 xOy 时， f(x)<0 ，则 f(f(x))=f(x2−3)=−(x2−3)+1=−x2+4 ，
当 x≥3 时， f(x)>0 ， f(f(x))=f(x2−3)=(x2−3)2−3=x4−6x2+6 ，
∴f(f(x))={x2−2x−2,x<0−x2+4,0≤x<3x4−6x2+6,x≥3 ，
当 x≥3 时， y=x4−6x2+6=(x2−3)2−3 ，
∵t=x2−3 单调递增，且 t≥0 ，此时 y=t2−3 单调递增，
∴ y=(x2−3)2−3 在 [3,+∞) 单调递增， ymin=−3 ，
画出函数图象，
函数 y=f(f(x))−k 有3个不同的零点，等价于 y=f(f(x)) 和 y=k 有3个不同的交点，
则观察图象可得， 1故答案为：B.

【分析】 作出函数y= f(f (x))的图象，即可确定实数k的取值范围.
3.【答案】 B
【解析】【解答】如图所示：
依据题意可知：非负实数t，所以 x1+x2=−3π ，
当 t=sin(−6) 时，则 x2−4x+2=sin(−6) ，即 x2−4x+2−sin(−6)=0
所以 x3x4=2−sin(−6)
当 t=1 时，则 x2−4x+2=1 ，即 x2−4x+1=0 ，所以 x3x4=1
所以 −3π+1所以只有 −8 一个整数在这个范围，
故答案为：B

【分析】画出函数fx的图像，结合函数的图像得到x1+x2=−3π ， x3x4=2−sin(−6) ， 当 t=1 时得出x3x4=1 ， 结合函数的单调性求出−3π+14.【答案】 B
【解析】【解答】当 0当 a>1 时，根据函数 f(x)=ax−x−a 有两个不同零点，可得方程 ax=x+a 有两个不等实根，
即函数 y=ax 与直线 y=x+a 有两不同零点，指数函数 y=ax 恒过点 (0,1) ；直线 y=x+a 过点 (0,a) ，作出函数 y=ax 与 y=x+a 的大致图象如下：
因为 a>1 ，所以点 (0,a) 在 (0,1) 的上方，因此 a>1 时， y=x+a 与 y=ax 必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意；
综上 a>1 。
故答案为：B.

【分析】利用分类讨论的方法结合函数的零点与两函数的交点的等价关系，从而结合两函数y=ax 与 y=x+a 的大致图象，再结合已知条件函数 f(x)=ax−x−a （ a>0 且 a≠1 ）有两个不同零点，从而求出实数a的取值范围。
5.【答案】 A
【解析】【解答】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：
函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，
据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，
故答案为：A.

【分析】根据题意首先由二分法求出函数零点，再由零点的左右两侧的函数值符号相反，由此分析选项即可得答案．
6.【答案】 C
【解析】【解答】因为 y=f(x+1) 可由 y=f(x) 向左平移一个单位后得到，
又二次函数 y=f(x) 在 [1,2] 上有两个零点，
所以向左平移一个单位后，其零点位于区间 [0,1] 内，
即函数 y=f(x+1) 在 [0,1] 上的零点的个数为 2 个.
故答案为：C.

【分析】根据两函数之间关系，结合题中条件，可直接得出结果。
7.【答案】 C
【解析】【解答】由零点存在性定理，可知 f(14)⋅f(12)<0 ，即 (lg214+a−2×14)(lg212+a−2×12)=(a−52)(a−2)<0 ，解得 2 【分析】利用已知条件确定零点所处的初始区间为 (14,12) 结合零点存在性定理，进而利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
8.【答案】 C
【解析】【解答】因为函数 g(x)=f(x)−m 有3个零点，所以 g(x)=f(x)−m=0 有三个实根，即直线 y=m 与函数 y=f(x) 的图象有三个交点．
作出函数 y=f(x) 图象，由图可知，实数 m 的取值范围是 (0,1) ．
故答案为：C．

【分析】由函数 g(x)=f(x)−m 有3个零点，得 g(x)=f(x)−m=0 有三个实根，即直线 y=m 与函数 y=f(x) 的图象有三个交点，作出其图像，然后结合图像即可求出答案。
二、多选题
9.【答案】 B,C
【解析】【解答】由题意 λ=−x2−2x 在 (−1,0) 上有解．
∵ x∈(−1,0) ，∴ λ=−x2−2x=−(x+1)2+1∈(0,1) ，
故答案为：BC．

【分析】 利用二次方程，与对应的函数的对称轴，结合零点判断定理，转化求解即可．
10.【答案】 B,C,D
【解析】【解答】若 a≤0 ，当 x当 x≥a 时，由 f(x)=x2−4ax=x(x−4a)=0 得 x=0 或 x=4a （舍）；
即 f(x)=0 仅有 x=0 一个根；
所以由 f(f(x))=0 可得 f(x)=0 ，则 x=0 ；
即方程 f(f(x))=0 仅有一个实根；
故不满足 f(f(x))=0 有3个不同的实根；
若 a>0 时, 画出 f(x)={x+a，x 由 f(f(x))=0 可得 f1(x)=4a ， f2(x)=−a ，
又 f(f(x))=0 有3个不同的实根，由 a>0 ，则 4a>2a,−a<0
由图象可得， f1(x)=4a 有一个实数根，则 f2(x)=−a 有两个实数根，
则 −3a2<−a 或 −4a2=−a
解得： a>13 或 a=14
综上可知， a>13 或 a=14
所以BCD均满足
故答案为：BCD

【分析】先讨论a≤0 ，结合函数解析式，分析可得不满足题意；再讨论a>0 ， 画出f(x)的图像，利用数形结合的方法确定a的取值范围。
11.【答案】 A,B
【解析】【解答】由 f(x)(f(x)+a)=0 解得 f(x)=0 或 f(x)=−a
若 f(x)=0 时， 1−|1−x|=0 ，即 |1−x|=1 ，解得 x=0 或 x=2
若 f(x)=−a 时，即 |1−x|=1+a
当 a<−1 时，方程 |1−x|=1+a 无解
当 a=−1 时，即 |1−x|=0 ，解得 x=1
当 a>−1 时，方程 |1−x|=1+a 的解为 x=−a 或 x=2+a
综上，该函数的零点可能为2，3，4个
故答案为：AB
【分析】由 f(x)(f(x)+a)=0 解得 f(x)=0 或 f(x)=−a ，分别讨论 f(x)=0 ， f(x)=−a 时，对应的根，即可得出答案.
12.【答案】 C,D
【解析】【解答】方程 f(x)−t=0 即 f(x)=t ，作出函数 f(x) 的简图，
由图可知：
当 t<0 时，函数 y=f(x) 的图象与直线 y=t 有2个交点，即方程 f(x)−t=0 有2个实数
解；当 t=0 时，函数 y=f(x) 的图象与直线 y=t 有3个交点，即方程 f(x)−t=0 有3个实数解，A不符合题意；
当 t>4 时，函数 y=f(x) 的图象与直线 y=t 有1个交点，即方程 f(x)−t=0 有1个实数解，B不符合题意；
当 0当 t=4 时，函数 y=f(x) 的图象与直线 y=t 有2个交点，即方程 f(x)−t=0 有2个实数解，D符合题意.
故答案为：CD.

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图像结合直线y=t的图象，再结合两图象的交点的横坐标与方程的实数解的等价关系，再利用函数 f(x)={lnx,x>0,−x2−4x,x≤0. 关于 x 的方程 f(x)−t=0 的实数解个数，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13.【答案】 -1或0
【解析】【解答】因为 f(x)=ax−b 的零点是3，所以 f(3)=0 ，即 3a−b=0 ，即 b=3a ，
所以 g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1) ，所以方程 g(x)=0 的两个根为 −1 或 0 ，
即函数 g(x) 的零点为 −1 或 0 ，
故答案为：-1或0。

【分析】利用函数零点的定义结合已知条件函数 f(x)=ax−b(b≠0) 有一个零点3， 所以 f(3)=0 ，即 3a−b=0 ，即 b=3a ，所以 g(x)=bx(x+1) ，再利用一元二次方程求解集的方法，从而求出一元二次方程的根，再利用方程的根与函数零点的等价关系，从而求出函数 g(x)=bx2+3ax 的零点。
14.【答案】 (2,3)
【解析】【解答】设函数f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，
∴下一个有根区间是(2,3)。
答案：(2,3)。
【分析】设函数f(x)＝x3－2x－5，利用零点存在性定理结合二分法，从而找出下一个有根区间。
15.【答案】 (0,1)
【解析】【解答】因为 f(x)=|2x−x2|−m 有四个零点，
所以 f(x)=|2x−x2|=m 有四个零点，
在同一坐标系中作函数 y=|2x−x2|,y=m 的图象如图所示：
由图象知： 0故答案为：(0,1)

【分析】根据f(x)=|2x−x2|−m 有四个零点，转化为函数y=|2x−x2|, y=m有四个交点，在同一坐标系中作函数 y=|2x−x2|,y=m 的图象，利用数形结合法求解即可。
16.【答案】 1
【解析】【解答】因为函数 f(x)=ax2+a−1(a∈R) 存在零点，不妨令 x0 为函数 f(x) 零点，则 f(x0)=0 ，
又函数 f(x) 与函数 f(f(x)) 的零点完全相同，
所以 f(f(x0))=0 ，即 f(0)=0 ，所以 a=1 .
故答案为1
【分析】不妨先令 x0 为函数 f(x) 零点，得到 f(x0)=0 ，根据函数 f(x) 与函数 f(f(x)) 的零点完全相同，得到 f(f(x0))=f(0)=0 ，进而可求出结果.
四、解答题
17.【答案】 （1）解：设 f(x)=ax （ a>0 且 a≠1 ）
a2=4 ，∴ a=2
f2(x)−3f(x)−4=0
f(x)=4 或 f(x)=−1
即 2x=4 ，∴ x=2 ， 2x=−1 无解
则 y=f2(x)−3f(x)−4 零点为2
（2）解：画出 y=|f(x)−1|=|2x−1| 的图像，令 y=m
结合数形结合的思想，
当 m<0 时， |f(x)−1|=m 根的个数为0；
当 m=0 或 m≥1 时， |f(x)−1|=m 根的个数为1；
当 0【解析】【分析】（1）根据题意先求出 f(x) 的表达式，再令 y=f2(x)−3f(x)−4=0 求解出具体的 f(x) 的值，再验证合理性即可；（2）先画出 f(x)=|2x−1| 的图像，再令 y=m
18.【答案】 （1）解： ∵f(x)=a 有三个不等实根， 则当 x=a2 时， f(a2)=a24=a a1=0 （舍去） a2=4 ∴a=4
（2）解：当 x∈[0,2] 且 a>0 时，对称轴 x=a2 ① a2≤2，a≤4 时， f(a2)=a24 ， f(2)=4−2a 1） a24≤4−2a 解得 04−2a 42−42，a>4 时， f(2)=2a−4 ， 综上， g(a)={4−2a，04
【解析】【分析】（1）根据方程有三个不等实根，可知在对称轴处函数值为a，解方程即可求出a的值；
（2）对a的取值分类讨论，通过二次函数的单调性，求出相应的最值，即可确定整个f（x）的最大值.
19.【答案】 （1）证明：令a＝b＝0，得f (0)＝f2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.
（2）证明：当x < 0时，－x >0，
所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即 f(x)=1f(−x)>0 ，
又因为 x≥0 时， f(x)≥1>0 ，所以对任意x∈R，恒有f (x) >0
（3）证明：设 x10 ，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．
因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，
则f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函数
（4）解：由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，
又由f (x) 为增函数，所以3x－x2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x的取值范围是(0，3)．
【解析】【分析】（1）取x的值为0时，f(0)=f(0)×f(0) ， 则f ( 0 ) = 1。
（2）首先根据题中条件可知当x<0时，f(0)=f(x−x)=f(x)×f(−x)=1 ， 则f(x)>0;当x≥0时，f(x)>0，故有对任意x∈R ， 恒有f (x) >0。
（3）首先假设x1（4）根据题中条件可知f(3x−x2)>f(0)。由（3）知函数为增函数，因此可直接得出x的取值范围。
20.【答案】 （1）解：由 f(x)=x2+12|x−a|+b(a,b∈R) ，可得
f(x)={x2+12x−12a+b,x≥ax2−12x+12a+b,xy=x2−12x+12a+b, 其对称轴为 x=14
易得：设当 x1当 a当 x1可得 f(x1)=f(x2)=f(x3) ，且此时 x2综上可得：若 f(x1)=f(x2) 且 x1≠x2 ， x1+x2≤12
（2）解：设 g(x)=x2+12x−12a+b ， ℎ(x)=x2−12x+12a+b ，由 −1≤x≤1 时，若 |f(x)|≤1 恒成立，可得 {−1≤g(−1)≤1−1≤g(1)≤1−1≤g(−14)≤1 ，可得 {−32≤−12a+b≤12−52≤−12a+b≤−12−1516≤−12a+b≤1716 ，得 −1516≤−12a+b≤−12 ①
同理可得 {−1≤ℎ(−1)≤1−1≤ℎ(1)≤1−1≤ℎ(14)≤1 ，可得 {−32≤12a+b≤12−52≤12a+b≤−12−1516≤12a+b≤1716 ，
可得 −1516≤12a+b≤−12 ②
②×2 得 −158≤a+2b≤−1 ，
可得a+2b的最大值为-1.
【解析】【分析】（1）将 f(x)=x2+12|x−a|+b 化为分段函数，利用函数得性质与图像进行证明可得结论；（2）设 g(x)=x2+12x−12a+b ， ℎ(x)=x2−12x+12a+b ，由当 −1≤x≤1 时，若 |f(x)|≤1 恒成立，列出关于 a、b 的不等式组，可得a+2b的最大值.
21.【答案】 （1）解：当 x⩽0 时， f(x)+1=0 ， ∴2x+1+1=0 ， ∴x=−1 ；
当 x>0 时， f(x)+1=0 ， ∴lgx+1=0 ， ∴x=0.1 ，
∴y=f(x)+1 的零点是 −1 ， 0.1
（2）解：依题意 y=f(x)+a 有两个零点，等价于函数 y=f(x) 与 y=−a 有两个交点，
画出函数 y=f(x) 的图象如下图：
由图可知 −a≤1 解得 a≥−1
故若 y=f(x)+a 有两个零点，则 a∈[−1,+∞) .
（3）解： f(x) 在 (−∞ ， 0] 上单调递增，值域是 (−∞ ， 1] ，在 (0,+∞) 上单调递增，值域为 R ，
如右图：
令 f(x)=t ，若 y=f(f(x))+k 有三个零点， ∴−k=f(t) 有两个根， t1>1 ， t2⩽1 ，
要使 f(x)=t1 有一个交点，若 f(x)=t2 ，有2个交点．
∴0<−k⩽1 ， ∴−1⩽k<0 ．
【解析】【分析】（1）分 x⩽0 和 x>0 两种情况，代入解析式解方程可得零点；（2）函数 y=f(x)+a 有两个零点，等价于函数 y=f(x) 与 y=−a 有两个交点，画出函数 y=f(x) 的图象，数形结合即可求出实数 a 的取值范围.（3）令 f(x)=t ，若 y=f(f(x))+k 有三个零点， ∴−k=f(t) 有两个根， t1>1 ， t2⩽1 ，要使 f(x)=t1 有一个交点，若 f(x)=t2 ，有2个交点.