高考一轮复习专题17 利用导数求函数的极值(解析版)

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专题17 利用导数求函数的极值
【知识总结】
函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
【例题讲解】
方向1：由图象判断函数的极值
【例1】　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0。由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值。故选D。
答案　D

知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。
方向2：求函数的极值
【例2】　已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)。
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值。
解　(1)由f(x)＝x－1＋，
得f′(x)＝1－。
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，
即1－＝0，解得a＝e。
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值。
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，
在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值。
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值。

求函数极值的一般步骤：①先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点；④求出具体极值。
方向3：已知极值求参数
【例3】(1)若函数f(x)＝x2－x＋alnx在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________。
(2)若函数f(x)的导数f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝________。
解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]。
(2)因为函数的导数为f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，所以若k是偶数，则x＝k，不是极值点，则k是奇数，若k<，由f′(x)>0，解得x>或x，由f′(x)>0，解得x>k或x<；由f′(x)<0，解得 答案　(1)(－∞，－1]　(2)1

已知函数极值点或极值求参数的两个要领
1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解。
2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性。
【变式训练】1．(方向1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)


A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个。
答案　B
【变式训练】2．(方向2)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析　因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1。因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1。令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2 答案　A
【变式训练】3．(方向3)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为(　　)
A．6 B．2
C．2或6 D．0
解析　由f′(2)＝0可得c＝2或6。当c＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值。故选B。
答案　B
【变式训练】4．(方向3)(2019·长春市质量监测)若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)
解析　f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex，令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3。由题意知，g(x)在(0，＋∞)内先减后增或先增后减，结合函数g(x)的图象特征知，或解得a≤－3。故选C。
答案　C
【例题训练】
一、多选题
1．下列命题正确的有（ ）
A．已知且，则
B．，则
C．的极大值和极小值的和为
D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.
【详解】
A选项，由条件知且，所以，即；
B选项，有，，而；
C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，
所以；
D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可
∴，解得
故选：ACD
【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
2．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数，可得，
令，即，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；
由当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，
当时，可得，所以函数在上没有零点，
综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；
由函数在上单调递减，可得，
由于，
则，
因为，所以，即，
所以，所以C正确；
由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（ ）
A．的单调减区间是
B．的极小值是﹣6
C．过点只能作一条直线与的图象相切
D．有且只有一个零点
【答案】BCD
【分析】
求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．
【详解】
因为，令，得或，
则在，上单调递增；
令，得，则在上单调递减．
所以极小值为，极大值为，而，
故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；
设过点的直线与的图象相切，切点为，
因为，，
所以切线方程为．
将代入，得．
令，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
因为，，，
所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．
故选：BCD．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
4．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（ ）
A．无极小值 B．有极小值 C．无极大值 D．有极大值
【答案】AD
【分析】
将函数的解析式变形为，利用复合函数的求导法则可求得，利用导数可求得函数的极值，由此可得出结论.
【详解】
根据材料知：，
所以，
令得，当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以有极大值且为，无极小值.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A．在单调递增 B．在单调递增
C．在上有极大值 D．在上有极小值
【答案】AC
【分析】
首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.
【详解】
由得，则
即，设
，
即在单调递增，在单调递减
即当时，函数取得极小值.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题.
6．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为（ ）
A．的单调减区间是
B．的极小值是
C．当时，对任意的且，恒有（a）（a）
D．函数有且只有一个零点
【答案】BCD
【分析】
由，知，令，得，，分别求出函数的极大值和极小值，知错误，正确；由，且，令利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故正确；
【详解】
解：，其导函数为．
令，解得，，
当时，即，或时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减；
故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，
故函数只有一个零点，
错误，正确；
令，则故在上，即在上单调递增，根据切割线的定义可知，当时，对任意的，恒有，即
对任意的，恒有，即，
故正确；
故选：．
【点睛】
本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．

二、单选题
7．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
【答案】A
【分析】
由函数的图象，可得时，；时，；时，.由此可得函数的单调性，则答案可求.
【详解】
解：函数的图象如图所示，
∴时，；时，；时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.
∴有极大值.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.
8．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（ ）
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
③没有最大值，也没有最小值；
④有最大值，没有最小值；
⑤有最小值，没有最大值.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
直接不等式可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断③④⑤
【详解】
解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正确；
由，得，令，则，解得或，
当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以②错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值，所以有最大值，没有最小值，所以④正确，③⑤错误，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
9．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：

①-3是函数y=f(x)的极值点；
②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；
③-1是函数y=f(x)的最小值点；
④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.
以上正确命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】
根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确；
则是函数的极小值点，故①正确；
∵在上单调递增，不是函数的最小值点，故③不正确；
∵函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故④不正确.
故选：A
【点睛】
方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为：
1. 先求出原函数的定义域；
2. 对原函数求导；
3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；
4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．
10．已知函数，函数零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
令，讨论的取值范围：当时或当时，可得或，讨论的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.
【详解】
令，则，
（1）当时，，即，即.
当时，有一个解.
当时，，，；
，，且.
当时，，而，所以方程无解.
（2）当时，，由（1）知，即.
当时，有一个解.
当时，，所以无解.
综上，函数有两个零点.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题.
11．设函数，则（ ）
A．有极大值且为最大值 B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有3个实根，则 D．若方程恰有一个实根，则
【答案】C
【分析】
求导后求出函数的单调区间，再根据当时，；、，画出函数图象草图后数形结合逐项判断即可得解.
【详解】
，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，，，
再由，，可画出函数图象草图，
如图，

由图象可知，为函数的极大值但不是最大值，故A错误；
为函数的极小值，且为最小值，故B错误；
若要使有3个实根，则要使函数的图象与函数的图象有3个交点，则，故C正确；
若要使恰有一个实根，则要使函数的图象与函数的图象仅有1个交点，则或，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和推理能力，属于中档题.
三、解答题
12．已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；
（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）当时，，所以，，列表；









单调递减
极小
单调递增
所以，在区间上的有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【点睛】
方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：
（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；
（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.
13．设函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为；（2）.
【分析】
（1）当时，，对求导判断单调性、即可求得极值；
（2）对求导，利用导函数得符号判断出的单调递增区间是，单调递减区间是，然后对参数进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数有2个零点时实数的取值范围.
【详解】
（1）的定义域是，
当时，，.
令，得或（舍）.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，极小值为.无极大值
（2）函数的定义域为，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
①令，得，
当，的最小值为，
即有唯一的零点；
②当时，的最小值为，
且，即不存在零点；
③当时，的最小值，
又，，所以函数在上有唯一的零点，
又当时，，，
令，则，解得，
可知在上递减，在上递增，
所以，所以，
所以函数在上有唯一的零点，
所以当时，有2个不同的零点，
综上所述：实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．（1）已知，，若，且图象在点处的切线方程为，求的值.
（2）求函数在上的极值.
【答案】（1），，；（2）极大值为，极小值为.
【分析】
（1）由导数的几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解；
（2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值的概念即可得解.
【详解】
（1）因为，所以即，
由可得，
因为图象在点处的切线方程为，
所以，，即，，
所以，，；
（2）由可得，
所以当时，；当时，；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数在上的极大值为，
极小值为.
15．已知函数.
(1)若函数，求函数的极值；
(2)若在时恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）的极大值是，无极大值；（2）.
【分析】
（1）先写函数并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；
（2）先分离参数，再研究函数最大值得到的取值范围，即得结果.
【详解】
解：（1），定义域为，
.
；；
当变化时，的变化情况如下表:


1


-
0
+

↘
极小值
↗
由上表可得的极大值是，无极大值；
（2）由在时恒成立，
即，
整理为在时恒成立.
设，则，
当时，，且，.
当时，，
设在上单调递增，
当时，；当时，，
，使得
∴当时，；当时，.
∴当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
.
，，
∴当时，，
的最小值是.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性和极值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和③写出单调区间，并判断极值点.
解决恒成立问题的常用方法：
①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.
16．已知函数，（其中）.
（1）求函数的极值；
（2）若函数在区间内有两个零点，求正实数的取值范围；
（3）求证：当时，.（说明：是自然对数的底数，）
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1），利用导数求出其单调性，然后可得极值；
（2），利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解；
（3）问题等价于求证；设，利用导数求出其最大值，然后证明即可.
【详解】
（1）∵，
∴，
由，得，由，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）函数，
则，
令，∵，解得，或（舍去），
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
函数在区间内有两个零点，
只需，即，∴，
故实数的取值范围是.
（3）问题等价于，由（1）知的最小值为.
设，，易知在上单调递增，
在上单调递减.
∴，
∵，
∴，∴，故当时，
【点睛】
方法点睛：已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解.
17．已知函数，．
（1）设，求函数的极值；
（2）若，试研究函数的零点个数．
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）1个．
【分析】
（1）先求得，然后求，对分成和两种情况进行分类讨论，结合单调性求得的极值.
（2）首先判断在上递增，结合零点存在性定理判断出的零点个数.
【详解】
（1），，
，．，
①当时，恒成立，在上是增函数，无极值．
②当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增，
的极小值，无极大值．
（2）由（1）知，当时，的极小值，
结合的单调性可知，即恒成立．
在上是增函数，
，
，
在中有一个零点，
函数的零点个数为1个．
【点睛】
方法点睛：
利用导数解决函数零点问题的方法：
1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
3.分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题.
18．已知函数，在时取得极值.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是.
【分析】
（1）利用极值定义，列式，求出值并验证即可；
（2）利用导数正负确定函数的单调区间即可.
【详解】
解：（1）函数，则，
函数在时取得极值，故，解得，此时，，函数确实在时取得极小值.
故的值是；
（2）因为，当时，当时，故函数的单调增区间是，单调减区间是.
19．已知函数，是奇函数.
（1）求的表达式；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极大值，极小值.
【分析】
（1）求导，由得到的表达式，然后利用是奇函数求解.
（2）由（1）知，求导，再利用极值的定义求解.
【详解】
（1）函数，
所以，
所以，
因为是奇函数，
所以，
所以，解得，
所以的表达式为.
（2）由（1）知，
则，
当或时，，递减；
当时，，递增；
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
【点睛】
本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．已知函数.