专题12 利用倒序相加法求数列和(解析版)

专题12 利用倒序相加法求数列和

【知识总结】

1．倒序相加法与并项求和法

(1)倒序相加法

如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。

(2)并项求和法

在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。

【例题讲解】

【例1】正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.

解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，

得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.

于是a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.

综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)证明：由于an＝2n，

故bn＝＝＝.

Tn＝

＝＜＝.

1.裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

2．常见数列的裂项方法

【变式训练】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．

(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn.

解：(1)证明：∵an是1与anan＋1的等差中项，

∴2an＝1＋anan＋1，

∴an＋1＝，

∴an＋1－1＝－1＝，

∴＝＝1＋，

∵＝1，

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，

∴＝1＋(n－1)＝n，

∴an＝.

(2)由(1)得＝＝－，

∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.

【例题训练】

一、单选题

1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．

【详解】

由题已知是上的奇函数，

故，

代入得：，

∴函数关于点对称，

令，

则，

得到，

∵，

，

倒序相加可得，

即，

故选：C．

【点睛】

思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.

先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.

2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．

【详解】

由题已知是上的奇函数，

故，

代入得：，

∴函数关于点对称，

令，

则，

得到，

∵，

，

倒序相加可得，

即，

故选：C．

【点睛】

思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式.

3．已知，（），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用累加法即可求出通项公式．

【详解】

解：∵，则当时，

，

……

，

，

∴，

化简得，

又，

∴，

经检验也符合上式，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．

4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）．

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】D

【分析】

利用倒序相加法可求得，进而解不等式求得最大正整数.

【详解】

设，则，

又，，

，由得：，

，，，，

的值为.

故选：.

【点睛】

本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前项和的问题，属于中档题.

5．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ）

A． B．33 C． D．34

【答案】A

【分析】

根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案.

【详解】

函数满足，

①，

②，

由①②可得，，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.

6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）

A．100 B．105 C．110 D．115

【答案】D

【分析】

根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和．

【详解】

解：函数满足，①，

②，

由①②可得，

，所以数列

是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．

7．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先可得，又，则，即，则可得，再由及计算可得；

【详解】

解：因为，

所以

所以

因为

所以，

所以

则数列的前2018项和

则

所以

所以

又

故选：

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题.

8．已知若等比数列满足则（    ）

A． B．1010 C．2019 D．2020

【答案】D

【详解】

等比数列满足

即2020

故选：D

【点睛】

本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.

9．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.

【详解】

，，

设，

则，

两式相加得，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．

10．设等差数列的前项和是，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据等差数列求和公式表示出，根据结合等差数列性质求解.

【详解】

由题：等差数列中：

．

故选：B

【点睛】

此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.

11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．

【详解】

由题已知是上的奇函数
故，
代入得： 
∴函数关于点对称，令，则，得到．
∵，

倒序相加可得，即 ，

故选B．

【点睛】

本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解．属难题

12．已知函数，则的值为（ ）

A．4033 B．-4033

C．8066 D．-8066

【答案】D

【解析】

试题分析：，所以原式.

考点：函数求值，倒序求和法.

【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即.

13．已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

观察到的自变量头尾加得1，根据为R上的奇函数和得到即可求解.

【详解】

∵为R上的奇函数，

∴

代入得：

当时，，

当为偶数时：

当为奇数时：

综上所述，，

故选C.

【点睛】

本题考查数列与函数的综合应用.关键在于发现规律，再建立与已知的联系.

二、填空题

14．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.

【答案】

【分析】

利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知，再利用倒序相加法求和.

【详解】

，

，

，

，，，…，

，

，

，

.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到，然后利用倒序相加法求和.

15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．

考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．

【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．

16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______.

【答案】8

【分析】

由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论．

【详解】

解：，

，

，

令，解得：，

而，

故函数关于点对称，

，

，

，，

，

同理可得，，，

，

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．

17．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.

【答案】

【分析】

先求出，并判断，（且），再由函数得到，最后求的值即可.

【详解】

解：因为等差数列的前项和为，且，

所以，解得：，

则，（且）

因为，则，

所以

设，

则，

由上述两式相加得：

，

则

故答案为：1009.

【点睛】

本题考查等差数列的通项的性质、等差数列的前项和、倒序相加法，是中档题.

18．设函数，数列满足，则______.

【答案】

【分析】

由题得，设,考虑一般情况，，即得解.

【详解】

由题得,，

两式相加得，

考虑一般情况，设,

则

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．若()，则数列的通项公式是___________.

【答案】

【分析】

根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.

【详解】

，

，两式相加可得

，

，

所以 .

故答案为：

【点睛】

本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型.

20．对任意都有.数列满足：，则__________.

【答案】

【分析】

采用倒序相加法即可求得结果.

【详解】

由题意得：，，，……，

，

，

，解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.

21．函数，数列满足，其前项和为，则_____.

【答案】2019

【分析】

由二倍角公式可得，则，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到求解.

【详解】

（法一）：，

（法二）：，

所以，

所以，

，

所以，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式及数列求和

降幂公式：，，

22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.

【答案】.

【分析】

通过诱导公式可知，结合，可求出原式为.

【详解】

解：设，

，

，则

，即，

故答案为:

【点睛】

本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的关键是结合诱导公式对所求式子倒序求和.

23．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．

【答案】

【分析】

由题干可证出，再由倒序相加法可得所求为对的组合，即个，计算即可得解.

【详解】

，

，

因此

，

所以

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查倒序相加法求数列的前项和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

24．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.

【答案】7

【分析】

利用等差数列的性质可得，再利用二倍角的余弦公式可得，利用倒序相加法即可求解.

【详解】

数列满足，，数列是等差数列，

，，

，

同理，

数列的前7项和为7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质、二倍角的余弦公式、诱导公式以及倒序相加法，属于中档题.

25．给出定义 ：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．

【答案】-4037

【分析】

由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.

【详解】

函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称,

故，

两式相加得，则.

同理,,,令,则,

,故函数关于点对称,

,两式相加得,则.

所以当时, 解得: ,所以则.

故答案为: -4037.

【点睛】

本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.

三、解答题

26．已知数列的前n项和为．

（Ⅰ）若为等差数列，求证：；

（Ⅱ）若，求证：为等差数列．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】

（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；

（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证．

【详解】

（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，

则有，

于是，①

又，②

①+②得：，即．

（Ⅱ）证明：∵，当时，，

∴，③

，④

④-③并整理，得，即，

∴数列是等差数列．

【点睛】

本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.

27．已知函数，设数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由得到，然后变形为，利用等差数列的定义求解.

（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.

【详解】

（1）因为，所以由得，

所以，，

所以是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，所以.

（2）由（1）知，

则，

，

，

所以，

，

，

两式相加，得：

，

所以.

【点睛】

本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.

28．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.

（1）求证：点P的纵坐标是定值；

（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.

【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝

【分析】

（1）先根据中点坐标公式得x1＋x2＝1，再代入化简求得y1＋y2＝，即证得结果；

（2）先求，再利用倒序相加法求，两者相加得结果.

【详解】

（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，

∴＝，∴x1＋x2＝1.

∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，

∴y1＝，y2＝，

∴y1＋y2＝＋

＝

＝

＝＝＝，

∴点P的纵坐标为＝.

∴点P的纵坐标是定值.

（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am

＝

令

由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1)

∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).

又f（1）＝＝，

∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝.

【点睛】