专题24 参变分离法解决导数问题(解析版)

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专题24 参变分离法解决导数问题
【知识总结】
近几年高考压轴题常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)。预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类整合和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查。
【例题讲解】
方法一：分离参数、设而不求
【例1】已知函数f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)。
(1)若函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈，都有y＝f(x)＋的图象在g(x)＝的图象下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由。
【思路点拨】　(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，等价于方程＝a在(0，＋∞)上无解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，通过求导判断函数的单调性，进而得到参数的值。
【解】　(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，等价于方程＝a在(0，＋∞)上无解，
令t(x)＝，则t′(x)＝，令t′(x)＝0，得x＝e。
随着x的变化，t′(x)，t(x)的变化如下表所示。
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
t′(x)
＋
0
－
t(x)
单调递增
极大值
单调递减
因为x＝e是函数t(x)唯一的极值点，所以t(x)max＝t(e)＝，故要使方程＝a在(0，＋∞)上无解，需满足a>，故实数a的取值范围为。
(2)假设存在实数m满足题意，则不等式lnx＋<对任意的x∈恒成立，
即m 令v(x)＝ex－xlnx，则v′(x)＝ex－lnx－1，
令φ(x)＝ex－lnx－1，则φ′(x)＝ex－，
易知φ′(x)在上单调递增，φ′＝e－2<0，φ′(1)＝e－1>0且φ′(x)的图象在上连续，
所以存在唯一的x0∈，使得φ′(x0)＝0，即ex0－＝0，则x0＝－lnx0。
当x∈时，φ(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)单调递增。
则φ(x)在x＝x0处取得最小值，且最小值为φ(x0)＝ex0－lnx0－1＝＋x0－1>2－1＝1>0，
所以v′(x)>0，即v(x)在上单调递增，
所以m≤e－ln＝e＋ln2≈1.995 29，
故存在整数m满足题意，且m的最大值为1。

本题分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时往往可以采用设而不求的方法。在第(2)小问中，通过虚设零点x0得到x0＝－lnx0，将ex0－lnx0－1转化为普通代数式＋x0－1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉x0，即借助φ′(x0)＝0作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的。
【变式训练1】若对于任意的正实数x，y都有·ln≤成立，则实数m的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析　因为x>0，y>0，·ln≤，所以两边同时乘以，可得·ln≤，令＝t(t>0)，令f(t)＝(2e－t)·lnt(t>0)，则f′(t)＝－lnt＋(2e－t)·＝－lnt＋－1，令g(t)＝－lnt＋－1(t>0)，则g′(t)＝－－<0，因此g(t)即f′(t)在(0，＋∞)上单调递减，又f′(e)＝0，所以函数f(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因此f(t)max＝f(e)＝(2e－e)·lne＝e，所以e≤，得0 答案　D
方法二：分离lnx与ex
【例2】已知函数f(x)＝ax2－xlnx。
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x) 【思路点拨】　第(1)小题转化为当x>0时，不等式f′(x)≥0恒成立，进而应用分离变量法求解；第(2)小题将待证不等式等价变形为ex－ex 【解】　(1)由题意知，f′(x)＝2ax－lnx－1。
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，f′(x)≥0，即2a≥恒成立。
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－，
易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以2a≥1，即a≥。
故实数a的取值范围是。
(2)若a＝e，要证f(x) 令h(x)＝lnx＋(x>0)，则h′(x)＝，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)min＝h＝0，
所以lnx＋≥0。
再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，
易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0。
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex
1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。
2．本题第(2)小题中变形后再隔离分析构造函数，便于探求构造的函数h(x)＝lnx＋和φ(x)＝ex－ex的单调性。若直接构造函数，则很难借助导数研究其单调性。
【变式训练2】　设函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线e2x－y＋e＝0垂直。
(1)若f(x)在(m，m＋1)上存在极值，求实数m的取值范围；
(2)求证：当x>1时，不等式>。
解　(1)因为f′(x)＝，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为－。
又切线与直线e2x－y＋e＝0垂直，
可得f′(e)＝－，所以－＝－，
解得a＝1，所以f(x)＝，
f′(x)＝－(x>0)，
当00，f(x)为增函数；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)为减函数，所以x＝1是函数f(x)的极大值点。
又f(x)在(m，m＋1)上存在极值，所以m<1 综上所述，实数m的取值范围是(0,1)。
(2)将不等式>变形为·>，
分别构建函数g(x)＝和函数h(x)＝。
则g′(x)＝，令φ(x)＝x－lnx，则φ′(x)＝1－＝。
因为x>1，所以φ′(x)>0，所以φ(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x)>φ(1)＝1>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以x>1时，g(x)>g(1)＝2，故>。
h′(x)＝，因为x>1，所以1－ex<0，所以h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以x>1时，h(x) 综上所述，>h(x)，即>。
方法三一： 借助ex≥x＋1和lnx≤x－1进行放缩
【例3】已知函数f(x)＝ex－a。
(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；
(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整数a的最大值。
【思路点拨】　(1)利用导数的几何意义，得到f′(x)＝1，代入求出a的值；(2)将f(x)－lnx>0恒成立的问题转化为求两个不等式的恒成立问题，即ex≥x＋1与lnx≤x－1恒成立，然后构建不等式ex－2>lnx，从而确定a的最大值。
【解】　(1)f′(x)＝ex，因为函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，
所以令f′(x)＝1，即ex＝1，得x＝0，即f(0)＝－1，解得a＝2。
(2)现证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，
则F′(x)＝ex－1，令F′(x)＝0，则x＝0，
当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立，即ex≥x＋1，即ex－2≥x－1，
同理可得lnx≤x－1，
所以ex－2>lnx，
当a≤2时，lnx 即当a≤2时，f(x)－lnx>0恒成立。
当a≥3时，存在x，使ex－alnx不恒成立。
综上，整数a的最大值为2。

利用ex≥x＋1，lnx≤x－1可将超越函数转化为一次函数，有效地降低了试题的难度。
【变式训练3】　已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b。
(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求a，b的值；
(2)当b＝0时，f(x)－g(x)>0恒成立，求整数a的最大值。
解　(1)因为函数f(x)和g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，
所以f(0)＝g(0)且f′(0)＝g′(0)，
解得a＝1，b＝1。
(2)现证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，则F′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，
所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立，
即ex≥x＋1。
同理可得ln(x＋2)≤x＋1，
即ex>ln(x＋2)，
当a≤2时，ln(x＋a)≤ln(x＋2) 所以当a≤2时，f(x)－g(x)>0恒成立。
当a≥3时，e00不恒成立。
故整数a的最大值为2。
【例题训练】
一、单选题
1．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由，可得，从而，从而当时，恒成立，构造函数，可得，结合时，取得最大值1，从而的最大值为，只需即可.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解.
【详解】
由题意可得，没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令，，
则，
令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.
故选：C.


【点睛】
方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.
【详解】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据可求得，利用得到，将问题转化为，的最大值的求解问题，利用导数求得，从而求得结果.
【详解】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
5．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，进行参变分离得，设，将问题等价于y = a与在有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.
【详解】
令，即，解得，设，
所以在有两个零点等价于y = a与在有两个交点.
因为，得，所以在(0，e)上单调递增，在上单调递减，所以.
如图所示，画出的大致图象。
结合图象可知，当时， y = a与在有两个交点，即此时在有两个零点.

故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题.
6．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用参变量分离法可将问题转化为在上有两解，进而可将问题转化为函数与在上有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围.
【详解】
由已知可得在上有两解，
令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，
，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，实数k的取值范围为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象的交点个数使问题得以解决，属于难题.
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导，由题意可得恒成立，即为，设，即，分，，三种情况，分别求得范围，可得实数的取值范围.
【详解】
由函数得，由题意可得恒成立，即为，
设，即，
当时，不等式显然成立；
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，
综上可得实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.
8．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
先对化简，，用导数判断在的符号为正，可转化为，在有解，设 ，利用导数求函数的最大值，则，即实数的最大值为.
【详解】
由，得，令 ，，
则，则在递减，在递增，则，
即由，得，有解，
设 ，，
则，
令，，则，
故在递减，在递增，故，
故在递减，在递增，又，，
故，故，
即实数的最大值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.
9．已知函数，（，为自然对数的底数）.若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
证明出当时，由题意可得出使得，即，构造函数，利用导数求得函数的最大值，结合可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
所以，函数在上单调递增，，
由题意可知，使得，即，
令，其中，则，，令，得，
列表如下：









单调递增
极大值
单调递减

所以，函数的最大值为，，
又，，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知将原不等式等价于恒成立，构造函数，求导在上恒成立，运用参变分离可得选项．
【详解】
∵对于任意的，且，都有成立，
∴不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；
，则在上恒成立；
∴；即恒成立，
令，∴；
∴在上为增函数；∴；∴；
∴.
∴的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题．
11．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求导，将问题转化为有两个不同的零点，也即是关于x的方程有两个不同的解，构造函数，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性和最值，从而可得选项.
【详解】
函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的零点，
故关于x的方程有两个不同的解，
令，则，当时，
，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
又当时，；当时，，
且，故，
即.
故选：B.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.
12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据在上恒成立求解．
【详解】
∵，∴．
又函数 在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∵当时，，∴．
所以实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当时，则函数在区间上单调递减；而当函数在区间上单调递减时，则有在区间上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
13．对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点.设，若有两个不动点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据定义分离出参数，构造函数，讨论单调性和最值，结合图象可得答案.
【详解】
由得，令，则，
得在单调递增，得在和单调递减，
所以的极小值为，图象如图所示，由图可知，时，有两个不动点，

故选：B.
【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，考查了分离参数法与构造函数法的应用.
14．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，当时，恒成立，
即，构造函数，则，
所以，函数在区间上为增函数，
则对任意的恒成立，，
令，其中，则.
，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的最小值为，.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、多选题
15．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
A.先求函数的导数，判断函数的单调性，判断函数的极大值；B.根据函数的解析式，直接求函数的零点；C.根据函数的单调区间，直接比较大小；D.不等式转化为在上恒成立，即求函数的最大值.
【详解】
由已知，，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，
A正确；
又令得，即，只有1个零点，B不正确；
函数在上单调递减，因为，所以，故C正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，设，
，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以，，
故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
16．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
【答案】ABD
【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，当时，，，
所以，故切点为（0，0），
则，所以，故切线斜率为1，
所以在处的切线方程为：，即，故A正确；
对于B，，，则，
若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，
令，即在上恰有一个解，
则在上恰有一个解，
即与的图象在上恰有一个交点，
，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
而，
作出，的大致图象，如下：

由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，
即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；
对于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
设，，则，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，
所以在上的最大值为，
所以时，在上，恒成立，
即当时，才恒成立，
所以对任意，不恒成立，故C不正确；
对于D，当时，，，
令，则，即，
作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，
则在上恰有2个零点，故D正确.

故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
三、解答题
17．已知函数，且恒成立．
（1）求实数的值；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】
（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案.
(2)由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案
【详解】
（1）解：的定义域是，
因为，恒成立 ，所以是的极大值点，
所以，
因为，所以，所以．
（2）依题意得，，，
∴，
因为，所以对任意的恒成立，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以方程在上存在唯一的实数根，且，
则，
所以， ①
当时，，即；
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，
把①代入得，，，
所以，
故整数的最大值是3．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据恒成立求参数的最大整数值，考查函数的隐零点的整体然换的应用，解答本题的关键是由函数在上单调递增，得出在上存在唯一的实数根，且，得出单调性，从而得出，然后将代入，得出，属于难题.
18．已知函数的图象过点，且在P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求的解析式；
（2）若在上是减函数，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导得直线斜率，再利用已知条件建立方程组，求解即可函数的解析式；
（2）由题得在上恒成立，法一：分和两种情况讨论，运用二次函数的性质可得答案. 法二：进行参变分离，运用不等式恒成立的思想可得答案.
【详解】
解：（1），由题意可得，解得.
所以．
（2）因为，所以.
因为在上是减函数，所以在上恒成立，
当时，在上恒成立；

当时，设，由函数的图象的对称轴为可得，即，得.
故m的取值范围是.

法二：对成立，
当时；恒成立，
当时；，

【点睛】
不等式的恒成立问题，常常利用函数的最值得以解决，参数与函数的最值的大小关系．
19．已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（2原不等式化为：在上恒成立，设，，
求出函数的导数，再令，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【详解】
（1）
，，
令，则或，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
（2）原不等式化为：在上恒成立，
设，，
，令，则，
所以在上单调递增，，所以，
则函数在上单调递增，且，.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为在上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.
20．已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先根据导数的几何意义得，即可得的值；
（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即在上恒成立，参变分离得：，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；
（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导数零点与定义区间的大小关系讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最小值，根据最小值小于即可得实数的取值范围.
【详解】
（1）由，得.
由题意，，所以.
（2）.