专题25 构造函数法解决导数问题(解析版)

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专题25 构造函数法解决导数问题
【知识总结】
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。若直接构造函数，则很难借助导数研究其单调性。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝ax2－xlnx。
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)0时，不等式f′(x)≥0恒成立，进而应用分离变量法求解；第(2)小题将待证不等式等价变形为ex－ex0时，f′(x)≥0，即2a≥恒成立。
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－，
易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以2a≥1，即a≥。
故实数a的取值范围是。
(2)若a＝e，要证f(x)0)，
当01时，f′(x)φ(1)＝1>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以x>1时，g(x)>g(1)＝2，故>。
h′(x)＝，因为x>1，所以1－ex。
【例题训练】
一、多选题
1．函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，可得出，令，，利用导数得出函数在上为增函数，再令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可求得，可判断ACD选项的正误，再结合函数的单调性可判断B选项的正误.
【详解】
由，可得，即，
令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
若函数在上有唯一零点，则.
所以，，由于函数在上单调递增，
，，即，，
所以，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.
2．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
【答案】BD
【分析】
对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．
【详解】
函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，
若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．
3．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．
【详解】
解：令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．
4．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
先设，，，对函数求导，根据题中条件，分别判断设和的单调性，进而可得出结果.
【详解】
设，，，
则，.
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，，
即，即.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.
5．已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（ ）
A． B．在处取得极大值
C． D．在单调递增
【答案】ACD
【分析】
根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.
【详解】
∵函数的定义域为，导函数为，
即满足
∵
∴
∴可设（为常数）
∴
∵，解得
∴
∴，满足
∴C正确
∵，且仅有
∴B错误，A、D正确
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.
6．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）
A．在内单调递增；
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
D．和之间存在唯一的“隔离直线”.
【答案】ABD
【分析】
令，利用导数可确定单调性，得到正确；
设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；
根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.
【详解】
对于，，
，，
当时，，单调递增，
，在内单调递增，
正确；
对于，设，的隔离直线为，
则对任意恒成立，即对任意恒成立.
由对任意恒成立得：.
⑴若，则有符合题意；
⑵若则有对任意恒成立，
的对称轴为，，；
又的对称轴为，；
即，，；
同理可得：，；
综上所述：，，正确，错误；
对于，函数和的图象在处有公共点，
若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，
则恒成立，
若，则不恒成立.
若，令，对称轴为
在上单调递增，
又，故时，不恒成立.
若，对称轴为，
若恒成立，则，解得：.
此时直线方程为：，
下面证明，
令，则，
当时，；当时，；当时，；
当时，取到极小值，也是最小值，即，
，即，
函数和存在唯一的隔离直线，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.
7．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则　　
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，令，，则其导数，
又由，且恒有，
则有，
即函数为减函数，又由，则有，
即，分析可得；
又由，则有，
即，分析可得．
故选：．
【点睛】
本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数，并借助导数分析其单调性，属于中档题．

二、单选题
8．已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（ ）(选项中为自然对数的底数，大约为)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由已知判断出，再根据得到，构造函数，利用单调性求出最小值大于0，从而得到答案.
【详解】
由得，
设，
，在单调递减，在单调递增，
故，则，
所以， ，
由得易得，
记，所以，记，，
当即得时单调递增，
当即得时单调递减，
所以，得，
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列和导数的综合应用，考查学生的推理能力，计算能力，构造函数解题是关键.
9．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.
【详解】
不妨设可得
令则在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，

当时，
当时，，
而，
所以在区间上单调递减，则，
所以.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.
10．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.
【详解】
根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.
11．已知是定义在上的奇函数，且时，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，构造新函数，，通过导数研究函数单调性得出在上单调递增，再根据函数的奇偶性的定义得出是定义在上的奇函数，最后由，得出，所以，从而可求出的解集，即的解集.
【详解】
解：由题可知，当时，
令，，
则，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，则，
所以，
得也是定义在上的奇函数，
所以在和上单调递增，
又，则，所以，
所以可知时，解得：或，
则，即，即，
所以的解集为：，
即的解集为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式和函数的奇偶性的应用，通过构造新函数，是解题的关键.
12．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.
考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.
【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.

13．已知奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，求导可得单调递增，再结合奇函数的性质即可得解.
【详解】
令，则，所以单调递增，
因为，所以即，
又为奇函数，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
解决本题的关键是构造合理的新函数，利用导数确定函数的单调性即可得解.
14．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.
【详解】
设，所以，
因为，所以，
所以在上单调递减，且，
又因为等价于，
所以解集为，
故选：C.
【点睛】
本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造.
15．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
【详解】
在点的切线斜率为，
在点的切线斜率为，
如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，则
，且，可得
即有切点，，故的取值范围是：．
故选:.
【点睛】
本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．
16．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．
【详解】
，
，
，
在上为“凸函数”，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
在上单调递增，
，
，
即.
故选：.
【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．
17．已知函数的定义域为，为的导函数.若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由联想到构造，对其求导，从而判断出该函数的单调性.又由得出，不等式等价于，将其转化为，利用单调性就可得出不等式的解集.
【详解】
设，则.
∵，
∴，即函数在定义域上单调递减.
∵，∴，
∴不等式等价于，
即，解得.
故不等式的解集为.
故选A.
【点睛】
本题考查了含导函数的抽象函数的构造问题，常见的构造法如下：
（1）关系式为“加”型，常构造为乘法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，；
（2）关系式为“减”型，常构造为除法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，.
18．函数，，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
结合已知条件分析，需要构造函数,通过条件可得到,在R上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案．
【详解】
设，则，∴在上为增函数，
，
而，即，∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.
19．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
由已知条件可得对于任意的非负实数都成立，令，，结合一次函数的单调性，可得恒成立，令，求得导数和单调性，可得的最大值，进而得到的范围．
【详解】
解：不等式对于任意的非负实数都成立，即对于任意的非负实数都成立，
令，，因为，
所以在，上递减，所以，所以问题转化为恒成立，
令，则，由，可得；，可得．
所以在上递增，在上递减．所以（1），所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，若∀x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是（ ）
A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D
【分析】
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出的取值范围．
【详解】
解：当时，由可知：两边同乘以得：

设：
则，恒成立：
在单调递减，
由

即
即；
当时，函数是偶函数，同理得：
综上可知：实数的取值范围为，，，
故选：D．
【点睛】
主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．
21．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.
【详解】
设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，
故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【点睛】
本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.
22．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数可得为单调递增函数，将原不等式化为，根据单调性可解得结果.
【详解】
构造，
则

，
所以为单调递增函数，
又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题.
23．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
构造新函数，求导后易证得在上单调递减，从而有，，，故而得解．
【详解】
设，
则，
，
，
即在上单调递减，
，
即，
即，故选项A不正确；
，
即，
即，故选项D不正确；
，
即，即．
故选项B不正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
24．已知函数的导函数为，为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先构造函数，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式.
【详解】
原不等式等价于，令，