专题23 利用导数解决双变量问题(解析版)

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专题23 利用导数解决双变量问题
【知识总结】
证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解。考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如该题中利用x2,2－x1，其取值范围都为(－∞，1)，若将所证不等式化为x1>2－x2，则x1,2－x2的取值范围都为(1，＋∞)，此时就必须利用函数h(x)在(1，＋∞)上的单调性来求解。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝xex(x∈R)。
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝f(x)－a(x2＋2x＋1)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)已知函数h(x)与函数f(x)的图象关于原点对称，如果x1≠x2，且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2。
【思路点拨】　(1)先求出函数f(x)的导函数，然后利用导函数符号的变化求解函数的单调区间和极值；(2)可直接求导后依据参数取值情况进行分类讨论；也可直接分离参数，构造相应的函数，利用数形结合求解；(3)先将所证不等式转化为x2>2－x1，根据函数h(x)的单调性，构造函数F(x)＝h(x)－h(2－x)，通过证明h(x)>h(2－x)证明结论。
【解】　(1)由已知得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
－
单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)，函数f(x)在x＝－1处取得极小值，为f(－1)＝－，无极大值。
(2)由题意知g(x)＝xex－a(x2＋2x＋1)，则g′(x)＝(x＋1)(ex－a)，
当a＝0时，g(x)＝xex，易知函数g(x)只有一个零点，不符合题意。
当a<0时，在(－∞，－1)上g′(x)<0，g(x)单调递减；在(－1，＋∞)上g′(x)>0，g(x)单调递增，又g(－1)＝－<0，g(1)＝e－2a>0，当x→－∞时，g(x)→＋∞，所以函数g(x)有两个零点，符合题意。
当00，g(x)单调递增，在(lna，－1)上g′(x)<0，g(x)单调递减。又g(lna)＝alna－a(lna)2－a＝－a[(lna)2＋1]<0，所以函数g(x)至多有一个零点，不符合题意。
当a>时，在(－∞，－1)和(lna，＋∞)上g′(x)>0，g(x)单调递增，在(－1，lna)上g′(x)<0，g(x)单调递减。又g(－1)＝－<0，所以函数g(x)至多有一个零点，不符合题意。
当a＝时，g′(x)≥0，函数g(x)在R上单调递增，所以函数g(x)至多有一个零点，不符合题意。
综上，实数a的取值范围是(－∞，0)。
(3)由题意知，h(x)＝－f(－x)＝xe－x，h′(x)＝e－x(1－x)，令h′(x)＝0，解得x＝1。
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
单调递增

单调递减
由x1≠x2，不妨设x1>x2，根据h(x1)＝h(x2)，结合图象可知x1>1，x2<1，
令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈(1，＋∞)，
则F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x，
因为x>1,2x－2>0，所以e2x－2－1>0，
则F′(x)>0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x>1时，F(x)>0，
即当x>1时，h(x)>h(2－x)，则h(x1)>h(2－x1)，
又h(x1)＝h(x2)，所以h(x2)>h(2－x1)，
因为x1>1，所以2－x1<1，
所以x2,2－x1∈(－∞，1)，
因为h(x)在(－∞，1)上是增函数，
所以x2>2－x1，即x1＋x2>2。
【例题训练】
一、单选题
1．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意只需，对函数求导，判断单调性求出最小值，对函数讨论对称轴和区间的关系，得到函数最小值，利用即可得到实数的取值范围.
【详解】
若对于，，使成立，只需，
因为，所以，当时，，所以在上是减函数，所以函数取得最小值．
因为，
当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立；
当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解；
综上，实数的取值范围是，
故选:A．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.
2．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可.
【详解】
解：的定义域，
，令，则必有两根，
，所以，
，

，
，
当时，，递减，
所以
的最小值为
故选：A.
【点睛】
求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.
3．已知函数，若，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意转化条件，通过导数判断函数的单调性，以及画出函数的图象，数形结合可知，进而可得，最后通过设函数，利用导数求函数的最大值.
【详解】
由题意，， ，则，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又时，，时，，
作函数的图象如下：

由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴，
设，，则，令，解得，
易得当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故，即的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，变形计算能力，数形结合思想，属于中档题，本题可得关键是判断.
4．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据对于，，使成立，用导数法求得的最小值，用二次函数的性质求得的最小值，再解不等式即可.
【详解】
因为，
所以，
，
，
，
当时，，所以在上是增函数，
所以函数取得最小值.
因为，
当时，取得最小值，
因为对于，，使成立，
所以，不成立；
当时，取得最小值，
因为对于，，使成立，
所以，解得，此时；
当时，取得最小值，
因为对于，，使成立，
所以，解得，此时；
综上：实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
5．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】
首先化简函数，和，，并判断函数的单调性，由条件转化为子集关系，从而确定值.
【详解】
，
，，
当时，解得：，当时，解得：，
所以在的单调递增区间是，单调递减区间是，当时取得最小值，
，函数在单调递增，
，，所以，，
令，解得：或，
由条件可知的值域是值域的子集，
所以的最大值是，的最小值是，
故的最大值是.
故选：A
【点睛】
本题考查函数的性质的综合应用，以及双变量问题转化为子集问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
二、解答题
6．已知函数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）首先确定函数零点的区间，构造函数，利用导数判断函数的单调性，并得到在上恒成立，并利用单调性，变形得到.
【详解】
（Ⅰ），
所以的图象在点处的切线方程为．
（Ⅱ）令，解得，
当时，在．上单调递增；当时， ， 在上单调递减．
所以为的极大值点，不妨设，由题可知．
令，
，因为，所以，
所以单调递减．
又，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
所以，
因为，，
又在上单调递增，所以，
所以．
【点睛】
思路点睛：本题是典型的极值点偏移问题，需先分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中一个根进行对称的转化变形，使得与在同一个单调区间内，进而利用函数的单调性分析.
7．已知函数，为的导函数.
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（2）当时，求证：对任意的且，有.
【答案】（1）（i）；（ii）递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】
（1）（i）确定函数，求出，然后利用导数的几何意义求出切线方程即可；
（ii）确定函数，求出，利用导数研究函数的单调性与极值即可；
（2）求出，对要证得不等式进行等价转换后，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合等价转换后的结果即可证明结论成立.
【详解】
（1）（i）当时，，故.
可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（ii）依题意，，，从而求导可得，整理可得.
令，解得.
当变化时，，的变化情况如下表：


1



0



极小值

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值.
（2）证明：由，得.
对任意的，且，令，则



. ①
令，.
当时，，由此可得在单调递增，
所以当时，，即，
因为，，，
所以
. ②
由（1）（ii）可知，当时，，即，
故. ③
由①②③可得.
所以，当时，对任意的，且，有.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
8．已知函数.其中为常数.
（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得的单调性，从而得极值点个数，由此可得结论；
（2）结合（1）求得函数有两个零点时的范围，设，则，，
引入函数，由导数确定它是减函数，得，然后利用，再结合的单调性得出证明．
【详解】
（1），
当时，，在上单调递增，不符合题意，
当时，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以此时只有一个极值点．

（2）由（1）知
当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，函数取得最小值，
当时，，，函数无零点，不合题意，
当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，
当时，，，
又，所以在上只有一个零点，
令，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，所以，
所以，
又，所以在上只有一个零点.
所以满足题意.
不妨设，则，，
令，
则，
，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，即，
因为，所以，
所以，
又，，且在上单调递增，
所以，故得证.
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值点、零点，证明不等式．难点是不等式的证明，首先由零点个数得出参数范围，在不妨设，则，后关键是引入函数，同样用导数得出它的单调性，目的是证得，然后利用这个不等关系变形的单调性得结论．
9．已知函数，，设．
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
【答案】（1）最大值为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，再判断的符号，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；
（2）由题知，，即，，要证，即可，令，则只需证．构造函数，利用导数说明其单调性即可得证；
【详解】
解：
（1）解：当时，
所以．
注意，且当时，，单调递增；
当时，，单调递增减．
所以的最大值为．
（2）证明：由题知，，
即，，
可得．
．
不妨，则上式进一步等价于．
令，则只需证．
设，，
所以在上单调递增，
从而，即，
故原不等式得证．
【点睛】
本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，属于难题．
10．已知函数，其中.
（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；
（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由
【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值为．
【分析】
（1）求出函数的导数，将题意转换为在上有解，由在上递增，得，，求出的范围即可；
（2）求出函数的导数，得到，求出（a），根据函数的单调性求出（a）的最大值即可．
【详解】
解：（1），，
由题意得，在上有根（不为重根），
即在上有解，
由在上递增，得，，
检验，时，在上存在极值点，
，；
（2）中，
若，即在上满足，
在上递减， ，
不存在最大值，则；
方程有2个不相等的正实数根，
令其为，，且不妨设，
则，
在递减，在递增，在递减，
对任意，有，
对任意，有，
，
（a），
将，代入上式，消去，得：
（a），
，，，
由在递增，得，，
设，，，
，，，
，即在，递增，
（e），
（a）存在最大值为．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
11．已知函数，，其中.
（1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围.
（2）当时，若有两个零点，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意设，问题转化为方程，在有解，求导，分类讨论①若，②若，③若时，分析单调性，进而得出结论.
（2）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证.
【详解】
解：（1）设，
则由题设知，方程，在有解，
而.
设，则.
①若，由可知，且，
从而，即在上单调递减，从而恒成立，
因而方程在上无解.
②若，则，又时，，
因此，在上必存在实根，设最小的正实根为，
由函数的连续性可知，上恒有，
即在上单调递减，
也即，在上单调递减，从而在上恒有，
因而在上单调递减，故在上恒有，即，
注意到，因此，
令时，则有，由零点的存在性定理可知函数在，上有零点，符合题意.
③若时，则由可知，恒成立，从而在上单调递增，
也即在上单调递增，从而恒成立，故方程在上无解.
综上可知，的取值范围是.
（2）因为有两个零点，所以（2），
即，
设，则要证，
因为，，
又因为在上单调递增，
所以只要证明，
设，
则，
所以在上单调递减，（2），所以，
因为有两个零点，，，所以，
方程即构造函数，
则，，，
记，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，且，
设，
，
所以递增，
当时，，
当时，，
所以，
即，
，，，
所以，
同理，
所以，
所以，
所以，
由得：
，
综上：.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题.
12．已知函数.
（1）若在单调递增，求a的值；
（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）由在单调递增，利用导数知在上恒成立即可求参数a的值；（2）由有，利用二阶导数可知在上单调递增，进而可知，使得，则有的单调性得最小值，结合并构造函数可求取值范围，进而利用导数研究的单调性即可求范围；
【详解】
（1），又在单调递增，
∴，即在上恒成立，
（i）当时，，则需，故，即；
（ii）当时，，则；
（iii）当时，，则需，故，即；
综上所述：；
（2），，，
∵，有，
∴在上单调递增，又，，
∴，使得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故的最小值为，
由得，因此，
令，，则，
∴在上单调递增，又，，，
∴取值范围为，
令（），则，
∴函数在上单调递增，又，，
∴，即函数的值域为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数，由原函数得到最值，构造中间函数并根据其导数讨论单调性，求最值的取值范围；中间函数需要根据步骤中的研究对象及目的确定；
13．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；
（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于函数，再运用的关系将不等式转化为证，构造函数，分析函数的单调性，得出最值，不等式可得证.
【详解】
（1）解：函数的定义域为，，则.
①当时，对，所以函数在上单调递增；
②当时，，所以对，所以函数在上单调递增；
③当时，令，得或，所以函数在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减.
（2）证明：由（1）知且，所以.
又由
.
又因为.
所以要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以对.所以.
所以若存在两个极值点，则.
【点睛】
本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.
14．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．
【答案】（1）增区间为，；减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；
（2）由，可得是函数的一个零点，不妨设，把问题转化为证，即证．由，得，结合，是方程的两个实根，得到，代入，只需证，不妨设．转化为证．
设，则等价于．设，利用导数证明即可．
【详解】
（1）解：，
令，得，．
当或时，；当时，．
增区间为，；减区间为；
（2）证明：，是函数的一个零点，不妨设，
则要证，只需证．
由，得，
，是方程的两个实根，
，①
，②，
①②得：，
代入，只需证，不妨设．
，只需证．
，只需证．
设，则等价于．
设，只需证，
又，设，
则，在上单调递增，则．
，从而在上是增函数，
．
综上所述，．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．
15．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：在上单调递减，上单调递增；
（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）直接对函数求导，判断导函数在对应区间上的符号即可证明；
（2）总存在，，对任意都有，即函数在，上的最大值不小于，的最大值；借助单调性换元法，结合二次函数的性质分别求最值列不等式求解即可
【详解】
（1）证明：
令，解得，∴在上单调递增
令，解得，∴在上单调递减
（2）总存在，，对任意都有，
即函数在，上的最大值不小于，的最大值

令，∴，对称轴
∴
∴，，
令，∴，∴
∴，∴
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角函数的有界性，二次函数的最值以及恒成立问题的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
16．已知函数，．其中，为常数．
（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）首先求函数的导数，根据题意转化为在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数的单调性，列式求解的取值范围；（2）求出当函数有两个零点时，求出，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，得到，再通过构造得到，利用函数的单调性证明结论.
【详解】
（1），因为函数在定义域有且仅有一个极值点，
所以在内有且仅有一个变号零点，
由二次函数的图象和性质知，解得，
即实数的取值范围为．
（2），
当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，函数取得最小值，
当时，，，函数无零点，不合题意，
当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，
当时，，，
又，所以在上只有一个零点，
令，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，所以，
所以，
又，所以在上只有一个零点．