专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)

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专题15 已知函数的单调区间求参数的范围
【知识总结】
一般地，在不等式中如同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解，再借助导数考查新函数的性质，继而获得解答。如本题已知条件“2f(x)＋xf′(x)>0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决。
【例题讲解】
【例1】设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，且x∈[0，＋∞)时，f′(x)>2x。若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析　令G(x)＝f(x)－x2，则G′(x)＝f′(x)－2x。x∈[0，＋∞)时，G′(x)＝f′(x)－2x>0，所以G(x)在[0，＋∞)上是增函数。G(－x)＝f(－x)－(－x)2＝f(x)－x2＝G(x)，所以G(x)为偶函数，G(x)在(－∞，0)上是减函数。因为f(a－2)－f(a)≥4－4a，所以f(a－2)－4＋4a－a2≥f(a)－a2，所以f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，即G(a－2)≥G(a)，所以|a－2|≥|a|，所以a≤1。故选A。
答案　A
【例2】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　)
A．4f(－2)9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)