专题11 利用分组并项法求数列和(解析版)

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专题11 利用分组并项法求数列和
【例题讲解】
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
【结论探究】　本典例条件不变求数列{bn}的前n项和Tn.
解：由(2)知bn＝2n＋(－1)nn.
当n为偶数时，
Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；
当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]
＝2n＋1－2＋－n
＝2n＋1－－.
∴Tn＝
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
【变式训练】等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由
得
解得
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝＝n(n＋2)，
则cn＝
即cn＝
∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋
＝＋(4n－1)．
【例题训练】
一、单选题
1．已知数列满足，，，且是等比数列，则（ ）
A．376 B．382 C．749 D．766
【答案】C
【分析】
利用累加法求出通项，然后利用等比数列的求和公式，求解即可
【详解】
由已知得，，，而是等比数列，故，
，
，化简得，

故选：C
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
2．若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量的方向依次为，记，若给出四个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】
由题意，存在实数，使得，则，计算数量积，得到，推出，结合题中条件，由赋值法，分别判断，即可得出结果.
【详解】
由题意，存在实数，使得，则，
所以
，
所以



，
令，解得；
令，解得；
令，解得；
令，解得；
所以的值不可能取所给的四个数值.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：
向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
3．若数列的通项公式是，则（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为，
所以，
则 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
二、解答题
4．设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.
【答案】（1）条件选择见解析，，；（2）.
【分析】
（1）设的公差为，的公比为，根据所选的条件结合已知条件得出和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
【详解】
（1）选择①：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
选择②：设的公差为，的公比为.
则根据题意有，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，
所以
.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法.
5．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－，求Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据等差中项可得，从而求出.
（2）根据题意可得，讨论n是偶数或n是奇数，利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）若是等差数列，则对任意，，
即，
所以，
故
（2）当时，，即.
所以，
故，
所以，当n是偶数时，

，
当n是奇数时，，


综上，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了分组求和，解题的关键是求出，考查了计算求解能力.
6．在数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1），，变形为，，进而证明结论；
（2）由（1）可得：，再利用分组求和即可得出.
【详解】
（1）证明：，，
.
又因为，
数列是首项为1，公比为5的等比数列，
（2）由（1）可得：，
，
的前项和

【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
7．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】
（1）正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，
设公比为，则，整理得：，
由于，即，即，因为，所以解得，
所以.
（2）由于，
所以



.
【点睛】
关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前项和公式求和是解题关键.
8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用，，成等比数列，可得，
若选①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通项公式；
若选②：由可得，即可解出和的值，即可求出的通项公式；
若选③：由，可表示出，，结合，，成等比数列，即可解出和的值，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，分为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.
【详解】
是各项均为正数的等差数列，，，成等比数列.
所以，即，
整理可得，
若选①：，则，即，
由可得代入可得：
，解得或（舍）
所以，
所以，
若选②：，即，代入得：
，即
解得：或不符合题意；
若选③：，则，，
代入可得
解得：或不符合题意；
综上所述：，
，
（2），


当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以.
【点睛】
关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合，，成等比数列计算出和的值，由是各项均为正数的等差数列，所以，，第二问中正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分为奇数和偶数讨论.
9．已知数列是等差数列，是其前项和，且．
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由等差数列前n项和公式，结合已知即可求公差，进而写出通项公式即可.
（2）由（1）结论，有，首先分组，再结合等差等比前n项和公式求．
【详解】
（1）∵数列是等差数列，是其前项和，，
∴，解得，
∴．
（2）∵，
∴．
10．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由和，，成等比数列，求得，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）和，可得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列中，因为，可得，
又由，，成等比数列，可得，即，可得，
联立方程组，解得，，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）和，可得，
则
，
即.
11．已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）首项求出，然后求出，然后可得；
（2）分别算出数列、的前项和即可.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，由题意得， 解得 ．
所以 ．
设等差数列的公差为，由题意得
．
所以 ．
从而 ．
（2）由（1）知．
数列的前项和为；
数列的前项和为．
所以，数列的前项和为 ．
12．设数列的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列中，，，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；；（2）.
【分析】
（1）当时，由，可得，两式相减，可化为，结合等比数列的定义,即可得到结论；
（2）由题知数列是等差数列，则，再利用分组求和法求数列的前项和.
【详解】
（1）证明：当时，，
当时， ①
②
由①－②得：， ，即，
故数列是以2为公比，首项为的等比数列，
，得.
（2）由题得：，
故是以2为公差，2为首项的等差数列，.

.
【点睛】
方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
13．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项求出公差，即可得出数列的通项公式；
（2）由（1）得出数列的通项公式，再由分组求和法，结合等差、等比的求和公式求解即可.
【详解】
解：（1）由题设知公差，由，，，成等比数列得
解得或（舍去）
故的通项公式为．
（2）由（1）知，，由分组求和法得
．
14．已知数列满足奇数项成等比数列，而偶数项成等差数列，且，，，，数列的前n项和为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时，若，试求的最大值．
【答案】（Ⅰ），或，； （Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，代入已知条件求出，得通项公式；
（Ⅱ）用分组求和法求出，得，然后用作差法确定数列的单调性，得最大值．
【详解】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，则，，
因为，，所以，解得，．
若，则，，
若，则，，
所以，．
（Ⅱ）因为，所以，．
．
由，，，
所以当时，，，
当时，，，
所以的最大项为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法，数列的增减性．
求通项公式的方法是等差数列和等比数列的基本量法，即求出公比和公差后直接写出通项公式，只是注意两解，要写成统一形式．
数列求和用的分组求和法，数列求和还有其他一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，倒序求和法等．他们都是对应的着特殊数列的求和．
数列的单调性一般用作差法确定，即确定的正负，得数列的增减性，从而得最大项或最小项．对于以幂的形式给出的通项公式不等增数列还可能用作商法确定增减性．
15．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.
已知等比数列的公比是，，且有 ().(注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分)
（1）求证：；
（2）求数列的前项和为.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
不管选哪一个条件，方法都一样：
（1）由基本量法求出，得通项公式；
（2）用分组求和法求．
【详解】
若选择①，
（1）设数列公比为，
则，，
∴，又，解得，
∴；
（2）由（1）得
．
若选择②，
（1）设数列公比为，
则，，
∴，∵，故解得，
∴；
（2）由（1）得
．
若选择③，
（1）设数列公比为，
，，∴，又，故解得，
∴．
（2）由（1）得
．
【点睛】
方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查分组求和法．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
16．设是数列的前n项和，已知，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用当时，，可推出数列为等比数列，即可求出通项公式；
（2）化简，分为奇数，偶数，求和即可.
【详解】
（1）因为，所以当时，
两式相减得，所以，当时，，，则所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
17．已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用，且列出关于首项与公差的关系式，求出公差与首项，即可求数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，可得，利用分组法求，结合等差数列与等比数列的求和公式可求出数列的和．
【详解】
（1）数列是等差数列，设公差为.
由知，且，故.
再由，得，故.
所以：
（2）若，是等比数列的前3项
则，根据等差数列的通项公式得到：，
代入上式解得：
而等数列中，c，
所以：等比数列的公比为.
于是：
则
故
【点睛】
利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
18．已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据，由题中条件，即可求出通项；
（2）先由（1）得到，再由分组求和的方法，利用等差数列与等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
（1）因为，
当时，，
当时，；也满足上式；
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
.
19．已知数列中，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都有.
（1）求a的值；
（2）试确定数列是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）记，求数列的前n项和.
（4）记是否存在正整数M，使得不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）数列是等差数列，通项公式为；（3）；（4）.
【分析】
（1）令，即得结果；
（2）将代入，作差整理得，再结合作差整理，即得，即证数列是等差数列，再计算通项公式即可；
（3）先利用（2）求，再化简得到通项公式，最后累加相消即得；
（4）先化简，利用单调性判断其取值范围，再解决恒成立问题得到M范围，即可得到最小值.
【详解】
解：（1）对任意的正整数n都有，令则，即故；
（2），故，则，作差得，化简整理得，则，作差得，化简整理得，故数列是等差数列，首项为，公差为，故通项公式为；
（3）由（2）知数列的前n项和，故，
故
；
（4），易见是递减数列，故即.
依题意不等式恒成立，即有，故正整数M的最小值为3.
【点睛】
证明等差数列的方法：
1.定义法；2.等差通项法；3.观察法，利用公式特征观察判断，只用于小题中.
数列求和的常用方法：
1.公式法；2.裂项相消法；3.倒序相加法4.错位相减法；5.并项求和法.
20．已知数列的首项，，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数.
【答案】（1）证明见解析；（2）99.
【分析】
（1）对递推关系两边取倒数，再进行构造，即可得答案；
（2）求出，再利用分组求和法，即等比数列和等差数列的前项和，再解不等式，即可得答案；
【详解】
（1）证明：∵，∴，
又∵，∴()，
∴数列为等比数列；
(2)由（1），可得，∴，
∴，
若，则，
∴最大正整数的值为.
【点睛】
形如的递推关系求通项公式，常可以用构造法进行求解；数列不等式的解，要充分利用为整数进行代入求解.
21．已知数列满足数列的前n项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出；
且，当时，．当时，，
利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）得，利用分组求和即可．
【详解】
（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，
所以．
又当时，，所以，
当时， ①
②
由①－②得，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）得，
所以．
【点睛】
方法点睛：求数列通项公式的方法：
1.定义法：利用等差数列或等比数列的定义；
2.利用 与 的关系： ；
3.累加法： ；
4.累乘法：；
5.构造法：；；
6.取倒数或者取对数．
22．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由,可得数列是等比数列，求出通项公式即可；
（2）由（1）得到，按为偶数和为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列的前项和．
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，因为，所以，
两式作差得，即，
因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
故.
（2），
当为偶数时，前项和；
当为奇数时，前项和，
则