专题20 利用导数解决函数的极值点问题(解析版)

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专题20 利用导数解决函数的极值点问题
【知识总结】
用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题。其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0。
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f。
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性。
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系。
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x0＋x)与f(x0－x)的大小关系转化为x0＋x与x0－x之间的关系，进而得到所证或所求。
说明：若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝－x＋alnx。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明： 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－。
①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递减。
②若a>2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝。
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0。
所以f(x)在，单调递减，在单调递增。
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2。
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11。
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，
所以 设函数g(x)＝－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0。
所以－x2＋2lnx2<0，即
破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果。
【变式训练】　已知f(x)＝xlnx－mx2－x，m∈R。若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1e2(e为自然对数的底数)。
解　欲证x1x2>e2，需证lnx1＋lnx2>2。由函数f(x)有两个极值点x1，x2，可得函数f′(x)有两个零点，又f′(x)＝lnx－mx，所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根。
于是有
①＋②可得lnx1＋lnx2＝m(x1＋x2)，
即m＝，
②－①可得lnx2－lnx1＝m(x2－x1)，
即m＝，
从而可得＝，
于是lnx1＋lnx2＝
＝。
又01。
因此lnx1＋lnx2＝，t>1。
要证lnx1＋lnx2>2，即证>2(t>1)，
即证当t>1时，有lnt>。
令h(t)＝lnt－(t>1)，
则h′(t)＝－＝>0，
所以h(t)为(1，＋∞)上的增函数。
因此h(t)>ln1－＝0。
于是当t>1时，有lnt>。
所以有lnx1＋lnx2>2成立，即x1x2>e2。
【例题训练】
一、单选题
1．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数
B．若，则是增函数
C．当时，函数恰有三个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】C
【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D
【详解】
对A, 的定义域为,且
.故A正确.
由条件可得，则，
所以在上单调递增,且
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.则
对B, 当时，，所以是增函数，故B正确.
对C,当时，由上可知, ，
所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.
对D,当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以存在，使得，成立
则在上，，在上，，在上，.
所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增.
所以函数恰有两个极值点，故D正确.
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.
2．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．
【详解】
由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，

知在，上，
所以此时函数在，上单调递增，
在上，，此时在上单调递减，
所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．
则函数的极小值点的个数为1．
故选: B
【点睛】
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
3．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围.
【详解】
由在处取得极大值可知，当时，；
当时，，
其等价于①存在，使得，
且②存在，使得；
若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；
若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；
若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；
若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值.
综上，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出函数的导数，问题转化为最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可.
【详解】
,
，
由函数无极值点知，
至多1个实数根，
，
解得，
实数a的取值范围是，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.
5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数有两个极值点得到关于的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出的取值情况.
【详解】
因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，
所以有两个不同实数根，显然，
所以有两个不同实数根，记，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又因为时，；当时，；当时，，
所以当有两个不同实数根时 ，
所以，所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难.
6．“”是“函数在上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
求出函数的极值点，利用该极值点在内求得实数取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.
【详解】
，则，令，可得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值.
若函数在上有极值，则，.
因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
7．已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
条件①说明在上存在零点，极大值点，利用方程的根可得的范围，然后求出条件②不等式恒成立的范围，求交集可得的范围．
【详解】
定义域是，
，在存在极大值点，则有两个不等实根，，或，
设的两个实根为，
或时，，时，，
当，，则，但时，，不可能是极大值点；
当时，由知，，或时，，时，．即在和上递增，在上递减，是极大值点，满足题意．
所以．
，则，∵，∴，∴．
综上．
故选：A．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．
8．若函数（为常数）有两个不同的极值点，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先求导得到，将题意转化为函数与的图象有两个不同的交点，再利用导数求出函数的单调区间和最值，即可得到答案.
【详解】
，函数（为常数）有两个不同的极值点，
等价于函数与的图象有两个不同的交点，
，因为为增函数，且，
则，，为减函数，
，，为增函数，
所以，故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查根据函数的极值点求参数，属于中档题.
9．已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】C
【分析】
利用列方程，解方程求得的值.
【详解】
，依题意，即.
此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.
10．设函数，则下列是函数极小值点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将函数进行求导，由于在的左侧，导函数值小于，右侧导函数值大于，得到是函数极小值点.
【详解】
，
当时，，；
当时，，，
在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点.
故选：.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，关键是能够明确极值点的定义，根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而得到极值点.
11．函数的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.
【详解】
函数，
则，令，
解得的两个极值点为，故排除AD，
且当时，恒为正，排除C，
即只有B选项符合要求，
故选：B.
【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.
12．已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧
【答案】D
【分析】
根据极值点的定义把用表示后，消去得关于的方程，由方程确定曲线．
【详解】
由题意，所以是方程的两根，所以且，所以，，
所以点在曲线上，还要满足，轨迹为抛物线弧．
故选:D
【点睛】
本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础．在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围．
13．若是函数的极值点，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得到，即可得到答案.
【详解】
由，则，则.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的极值点，属于简单题.
14．已知函数，则）的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出函数的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.
【详解】
解：由，
得：.
由，得：，或.
由，得：.
所以函数的增区间为.函数的减区间为.
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点.
故选：C.
【点睛】
本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.
15．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.
【详解】
的定义域是（0，+∞），
，
若函数有两个不同的极值点，
则在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故，解得：，
故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.

二、多选题
16．设函数的导函数为，则（ ）
A． B．是的极值点
C．存在零点 D．在单调递增
【答案】AD
【分析】
求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．
【详解】
由题可知的定义域为，
对于A，，则，故A正确；
对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；
对于C，，故函数不存在零点，故C错误．
故选：AD．
17．关于函数，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
【答案】ABD
【分析】
逐一验证，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.
【详解】
对于A：当时，，，
所以，故切点为，
，所以切线斜，
故直线方程为，
即切线方程为：，故选项A正确；
对于B：当时，，，
，恒成立，
所以单调递增，又，
，
所以存在，使得，
即，则在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以存在惟一极小值点，故选项B正确；
对于 C、D：,，
令得：，
则令，，
，令，
得：，，，
由函数图象性质知：
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以当，，时，取得极小值，
即当时，取得极小值，
又 ，即,
又因为在，单调递减，
所以，
所以，，时，取得极大值，
即当 时，取得极大值.
又，即，
当时，，
所以当，即时，
在上无零点，所以选项C不正确；
当时，即时，
与的图象只有一个交点，
即存在，在有且只有一个零点，
故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.
18．已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间上，有且只有一个极值点
D．过(0，0)作的切线，有且仅有3条
【答案】ACD
【分析】
利用函数的奇偶性的定义易知函数为偶函数，所以A正确；根据周期性的定义可判断B错误；根据导数判断其单调性，易知有且只有一个极值点，C正确；根据导数的几何意义求曲线过某点的切线方程可知D正确．
【详解】
对于A，因为函数的定义域为，显然，所以函数是偶函数，正确；
对于B，若存在非零常数，使得，令，则，即，令，则，因为，所以，即或．若，则，解得，舍去；若，则，解得，所以若存在非零常数，使得，则．
即，令，则，而，，不符合题意．故不存在非零常数，使得，B错误；
对于C ，，，，，
当，，故单减，
又，，故在上有且仅有一个解，有且只有一个极值点，故C正确；
对于D，设切点横坐标为，则切线方程为，
将 (0，0) 代入，得，解得或，．
若，则切线方程为；若，则，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，周期性的定义的应用，利用导数的几何意义求曲线过某点的切线方程，以及利用导数研究函数的极值点，属于中档题．
19．已知.（ ）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．x轴为曲线的切线 D．若，则
【答案】BC
【分析】
首先根据得到，分别画出和的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】
，令，得到.
分别画出和的图像，如图所示：

由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
，，为减函数.
所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，
当时，取得极大值为，
所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.
因为函数的极大值为，所以轴为曲线的切线，故C正确.
因为在为增函数，为减函数，
所以存在，满足，且，
显然，故D错误.
故选：BC
【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.
20．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是 B．时，图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有一个极值点
【答案】BCD
【分析】
求出函数定义域判断A，根据函数值的正负判断B，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D．
【详解】
由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
∵，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；
由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键．
三、解答题
21．已知函数.
(1)若只有一个极值点，求的取值范围.
(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，令，则.令，解不等式组即得解；
（2）只需证，设，函数，证明即得证.
【详解】
(1)解：，
令，则.令，
要使函数只有一个极值点，则需满足，即；
(2)证明：因为，
所以，
因为存在两个极值点，所以即
不妨假设，则
要证，即要证，
只需证，
只需证，
即证
设，函数，
因为，故，所以，即，
故在上单调递减，则
又因为，所以，即，
从而得证.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.
22．已知函数．
（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由函数奇偶性，得到，得出，对其求导，分别讨论和两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；
（2）先对函数求导，根据极大值求出，根据函数单调性，即可求出值域.
【详解】
（1）∵是定义域为的奇函数，所以，且．
∴，
∴．
当时，，此时在上单调递减，
在上只有一个零点，不合题意．
当时，，解得，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∵在上有三个零点，∴且，
即，即，
而恒成立，∴．
所以实数的取值范围为．
（2），
由已知可得，且，
解得或
当，时，
，，
令，即，解得，
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极小值点，与题意不符．
当，时，，．
令，即，解得；
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极大值点，符合题意，故，．
又∵，∴在上单调递增，在上单调递减．
又，，．
所以在上的值域为．
【点睛】
思路点睛：
导数的方法求函数零点的一般步骤：
先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.
23．（1）当时，求证：；
（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【分析】
（1）构造函数，转化为函数的最值问题求解；
（2）设，则，分，讨论，通过研究的最小值求解；
（3）求得，令得到，通正切函数的性质可得函数单调性，进而可得极值点．将证明转化为证明，令，则，即证，即证，构造函数利用导数求其最值即可．
【详解】
（1）证明：设，则，
从而在为增函数．所以，
故当时，成立；
（2）解：设，则，
考虑到当时，，
（ⅰ）当时，，则在上为增函数，
从而，此时适合题意．
（ⅱ）当时，，则当时，，从而在上是减函数，
所以当时，，这与“当时，恒成立”矛盾．故此时不适合题意．
由（ⅰ）（ⅱ）得所求实数的取值范围为．
（3）证明：，
令，得，当时，可化为，
由正切函数的性质及，得在内必存在唯一的实数，使得，
所以当时，，则在上为增函数：
当时，，则在上为减函数，
所以是的极大值点．且的极大值为．
下面证明：．
当时，由（1）知，由（2）易证．