高考一轮复习专题22 利用导数证明不等式(原卷版)无答案

专题22 利用导数证明不等式

【知识总结】

1、待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证。

2、隔离分析法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出层层递进的特点。

3、若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。

【例题讲解】

考点：不等式的证明

方向1：移项作差构造法

【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直。

(1)求a，b的值；

(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥。

【变式训练】　已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1。

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)证明：f(x)<sinx在(0，＋∞)上恒成立。

方向2：特征分析法

【例2】)已知函数f(x)＝ax－lnx－1。

(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；

(2)证明：＋x＋lnx－1≥0；

(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xlnx恒成立，求k的取值范围。

【变式训练】　已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1。

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；

(3)证明：＋＋＋…＋<(n∈N*且n>1)。

方向3：隔离分析法

【例3】已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0。

【变式训练】　已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)当a＝1时，求f(x)的极值，并证明f(x)>g(x)＋恒成立；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

【例题训练】

一、多选题

1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列不等式正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（    ）

A． B．

C．是R上的增函数 D．，则有

二、解答题

4．已知函数，，若最小值为0.

（1）求实数的值；

（2）设，证明：.

5．已知函数，.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）设，当，且，求证：.

6．已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）当时，证明：；

（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围．

7．已知，当时恒成立．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，求证：．

8．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求证：.

9．已知函数.

(1)若只有一个极值点，求的取值范围.

(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.

10．函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，时，证明：.

11．已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，求证：．

12．函数.

（1）若，求的单调性；

（2）当时，若函数有两个零点，求证：.

13．已知函数．

（1）试讨论的单调性；

（2）若，证明：．

14．已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）若对任意恒有不等式成立.

①求实数的值；

②证明：.

15．已知a＞0，函数．

（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；

（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）

16．已知函数，.

（1）判断函数的单调性；

（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）证明：.

17．已知函数.

（1）求证：；

（2）函数，有两个不同的零点，.求证：.

18．已知函数，.

（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；

（2）证明：.

19．已知函数.

（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.

20．（1）当时，求证：；

（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；

（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.