专题24 参变分离法解决导数问题(原卷版)

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专题24 参变分离法解决导数问题【知识总结】近几年高考压轴题常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)。预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类整合和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查。【例题讲解】方法一：分离参数、设而不求【例1】已知函数f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)。(1)若函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈，都有y＝f(x)＋的图象在g(x)＝的图象下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由。【变式训练1】若对于任意的正实数x，y都有·ln≤成立，则实数m的取值范围为(　　)A． B．C． D．方法二：分离lnx与ex【例2】已知函数f(x)＝ax2－xlnx。(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋。【变式训练2】　设函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线e2x－y＋e＝0垂直。(1)若f(x)在(m，m＋1)上存在极值，求实数m的取值范围；(2)求证：当x>1时，不等式>。方法三一： 借助ex≥x＋1和lnx≤x－1进行放缩【例3】已知函数f(x)＝ex－a。(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整数a的最大值。 【变式训练3】　已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b。(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b＝0时，f(x)－g(x)>0恒成立，求整数a的最大值。【例题训练】一、单选题1．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（    ）A． B．C． D．2．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（    ）A． B． C． D．15．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（    ）A． B． C． D．6．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（    ）A． B． C． D．7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（    ）A．﹣1 B． C． D．9．已知函数，（，为自然对数的底数）.若存在，使得，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．10．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．13．对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点.设，若有两个不动点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．14．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D． 二、多选题15．对于函数，下列说法正确的是（    ）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则16．关于函数，下列说法正确的是（    ）A．当时，在处的切线方程为B．若函数在上恰有一个极值，则C．对任意，恒成立D．当时，在上恰有2个零点三、解答题17．已知函数，且恒成立．（1）求实数的值；（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．18．已知函数的图象过点，且在P处的切线恰好与直线垂直．（1）求的解析式；（2）若在上是减函数，求m的取值范围．19．已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.20．已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.21．已知函数，．（1）求函数在处的切线方程；（2）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值．22．设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.23．已知函数的图象在点处的切线方程为.(本题可能用的数据：，是自然对数的底数)（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求整数t的最大值.24．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．25．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，，实数的取值范围．