专题23 利用导数解决双变量问题(原卷版)

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专题23 利用导数解决双变量问题【知识总结】证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解。考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如该题中利用x2,2－x1，其取值范围都为(－∞，1)，若将所证不等式化为x1>2－x2，则x1,2－x2的取值范围都为(1，＋∞)，此时就必须利用函数h(x)在(1，＋∞)上的单调性来求解。 【例题讲解】【例1】已知函数f(x)＝xex(x∈R)。(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)－a(x2＋2x＋1)有两个零点，求实数a的取值范围；(3)已知函数h(x)与函数f(x)的图象关于原点对称，如果x1≠x2，且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2。【例题训练】一、单选题1．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ）A． B． C． D．3．已知函数，若，其中，则的最大值为（    ）A． B．  C． D．4．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．二、解答题6．已知函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．7．已知函数，为的导函数.（1）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求证：对任意的且，有.8．已知函数.其中为常数.（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：.9．已知函数，，设．（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的零点，，求证：.10．已知函数，其中.（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由11．已知函数，，其中.（1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围.（2）当时，若有两个零点，，求证：.12．已知函数.（1）若在单调递增，求a的值；（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域.13．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：.14．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．15．已知函数，其中为自然对数的底数.（1）证明：在上单调递减，上单调递增；（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.16．已知函数，．其中，为常数．（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．17．已知函数，既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数的取值范围；（2）当时，，分别为的极大值点和极小值点.且，求实数的取值范围.18．已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.19．已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小．（取为2.8，取为0.7，取为1.4）20．已知函数．（Ⅰ）当时，求证：．（Ⅱ）设，若，，使得成立，求实数a的取值范围．21．设函数．（1）当时，试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．22．已知函数．（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）23．已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，函数的最小值为，求的值域.24．已知函数.（1）若在定义域单调递增，求a的取值范围；（2）设，m，n分别是的极大值和极小值，且，求S的取值范围.25．已知函数.    （1）求函数的单调递增区间；    （2）任取，函数对任意，恒有成立，求实数的取值范围.