专题12 利用倒序相加法求数列和(原卷版)

专题12 利用倒序相加法求数列和

【知识总结】

1．倒序相加法与并项求和法

(1)倒序相加法

如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。

(2)并项求和法

在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。

【例题讲解】

【例1】正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.

【变式训练】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．

(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn.

【例题训练】

一、单选题

1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，（），则（    ）

A． B． C． D．

4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）．

A．11 B．10 C．9 D．8

5．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ）

A． B．33 C． D．34

6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）

A．100 B．105 C．110 D．115

7．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知若等比数列满足则（    ）

A． B．1010 C．2019 D．2020

9．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（    ）

A． B． C． D．

10．设等差数列的前项和是，已知，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为

A． B． C． D．

12．已知函数，则的值为（ ）

A．4033 B．-4033

C．8066 D．-8066

13．已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为

A． B． C． D．

二、填空题

14．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.

15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______.

17．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.

18．设函数，数列满足，则______.

19．若()，则数列的通项公式是___________.

20．对任意都有.数列满足：，则__________.

21．函数，数列满足，其前项和为，则_____.

22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.

23．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．

24．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.

25．给出定义 ：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．

三、解答题

26．已知数列的前n项和为．

（Ⅰ）若为等差数列，求证：；

（Ⅱ）若，求证：为等差数列．

27．已知函数，设数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.

28．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.

（1）求证：点P的纵坐标是定值；

（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.

29．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.

（1）求证：点P的纵坐标是定值；

（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.

30．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.