第二章 第二节 函数的单调性及最值解析版练习题

这是一份第二章 第二节 函数的单调性及最值解析版练习题，共12页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的最值，解得x⩽−3，或x⩾2，等内容，欢迎下载使用。
第二节 函数的单调性与最值
知识回顾
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1a>c
[解析]　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1＜2＜＜e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.
[答案]　D
　变式1.(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．
[解析]　(1)由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.
(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，
解得0≤a＜1.
[答案]　(1)C　(2)[0,1)
例2.　(1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
答案　C
解析　由f (x)是减函数，得
∴≤a＜，∴实数a的取值范围是.
(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　(1,2]
解析　由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为10，
故00可化为
f(logx)>f或f＜f(logx)＜f，
∴logx>或－＜logx＜0，
解得0＜x＜或1＜x＜3.
所以原不等式的解集为.
答案：
考点三.最值问题
例1.（2020•安徽省肥东县）函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为______。
【解析】
【解析】
【分析】
无论a取何值，函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)都具有单调性，因而将x=1和x=0可得到最大与最小值，代入即可求解．
【详解】函数f(x)＝ax＋loga(x＋1) [0,1]上有单调性
将x=1和x=0代入可得最大值与最小值
所以
解得

变式1.(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．
(2)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
答案　(1)4　(2)6
解析　(1)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
又函数f(x)在[，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(－∞，]上单调递减，
则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为
f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
(2)易知f(x)在[a，b]上为减函数，
∴即∴∴a＋b＝6.
例2.(1)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)函数f(x)＝的最大值为________．
[解析]　(1)由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，
y2＝4＋2·＝4＋2，
当x＝－1时，y取得最大值M＝2；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以＝.
课后练习
一．单选题

1. (2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　D
解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．
答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞))
3．函数y＝在[2,3]上的最大值是________．
答案　2
4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，2]
解析　由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
5．函数y＝的单调递减区间为________．
答案　(2，＋∞)
6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
答案　－6
解析　由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是，令－＝3，得a＝－6.
7．函数f(x)＝的最大值为________．
答案　2
解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
8.函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．
答案　[－1,0]，[1，＋∞)
解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x1，πe>3e，故A错误；
∵0logπe，
则πlog3e>3logπe，故D正确．
三 填空题
17．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．
答案　[0，]
解析　当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；
当a≠0时，由得0f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
答案　(－3，－1)∪(3，＋∞)
解析　由已知可得解得－30时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)